8.2.1 Математический аппарат.
9.2.1 Математический аппарат
Решение задачи оптимизации существенно усложняется, когда критерий оптимальности является функцией нескольких независимых переменных даже при известном аналитическом выражении этой функции.
Функция F(x1, x2,…..хn) имеет в точке Х(х1*,х2*……хn*) max (min), если существует такая окрестность этой точки, взятая из области определения функции, что для всех точек этой окрестности справедливо => неравенство.
F(x1, x2,…..хn) < F(х1*,х2*……хn*) или F(x1, x2,…..хn) > F(х1*,х2*……хn*)
Кратко сформулируем необходимое и достаточное условия существования экстремума функции нескольких переменных.
Необходимым условием существования экстремума функции многих переменных является равенство «0» частных производных первого порядка по всем переменным.
Достаточное условие
Для того, чтобы дважды непрерывно дифференцируемая функция n переменных F(x) имела в стационарной точке x* безусловный локальный минимум (mах), необходимо, чтобы матрица ее вторых производных была не отрицательно (не положительно) определенной, и достаточно, чтобы она была положительно (отрицательно) определенной.
F(x) – матрица Гессе функции F(x) или еще называют гессиан функции (Н(х); G(Х)). Она представляет собой квадратную матрицу вторых частных производных f(x).
Проверка знакоопределенности матриц может быть осуществлена, например, с помощью критерия Сильвестра.
В случае матрицы второго порядка этот критерий имеет вид следующей теоремы.
Для того, что бы матрица была положительно определенной, необходимо и достаточно, что бы выполнялись равенства
a11>0, a11*a22-a12*a21>0
Для того, что бы матрица была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, что бы выполнялись неравенства
a11<0, a11*a22-a12*a21>0
Если все определители Сильвестра положительны, то имеет место min, если определители Сильвестра нечетного порядка отрицательны, а четного порядка – положительны, то max. А если последовательность чередования знаков у определителей Сильвестра иная, то экстремума нет.
Для случая 2-х переменных:
