Методы принятия упр. ...

9.1.1 Математический аппарат

Классический метод решения задачи оптимизации основан на том факте, что в точке минимакса первая производная равна «0».

Для случая одной независимой переменной необходимое условие существования экстремума выглядит следующим образом:

решая которое, любым из известных методов мы получим координаты точек, в которых, производная равна «0» (производная еще может и не существовать).

Из курса высшей математики Вы знаете, что производная может быть равна «0», а экстремума может и не быть.

Чтобы исследовать F(x) на экстремум, надо воспользоваться еще и достаточными условиями существования экстремума.

Первое достаточное условие

Исследуют поведение функции в ε- окрестности «подозрительной» точки, для чего вычисляют:

F(x^*+δ) и F(x^*-δ), где δ≤ ε

Если при этом выполняются соотношения:

1. F(x^*-δ)< F(x^*) и F(x^*+δ)< F(x^*), то x^* - точка max
2. F(x*+δ)> F(x*) и F(x*-δ)>F(x*) то x* - точка min

Если же правила не соблюдается, то экстремума в точке нет.

Второе достаточное условие

Исследуют поведение 1-й производной dF(x)/dx в ε- окрестности «подозрительной» точки.

Если знак F’(x^*-δ) ≠знаку F’(x^*+δ), то экстремум в точке х^* есть, при этом

если F’(x^*-δ) > 0, а F’(x^*+δ) < 0, то х^* - max

если F’(x^*-δ) < 0, а F’(x^*+δ) > 0, то х^* - min

Если знак F’(x^*-δ) совпадает со знаком F’(x^*+δ), то в точке х^* экстремума нет.

Этим правилом следует пользоваться, когда F’ вычислить легче, чем F.

Третье достаточное условие:

Исследуют знак высших производных непосредственно в подозреваемых точках.

Правилом можно воспользоваться, если F(x) непрерывная функция и имеет непрерывные производные высших порядков.

1. если F’’(x^*) > 0, то в точке х^* - min
2. если F’’(x^*) < 0, то в точке х^* - mах
3. если F’’(x^*) = 0, то необходимо исследовать знаки высших производных.

При этом применяют следующее правило.

Если первая, не обращающаяся в нуль производная нечетного порядка, то в исследуемой точке нет ни max, ни min; если же эта производная четного порядка, то имеется max, при условии, что она отрицательна и min, если она положительна.

Исследование на темпы возрастания и убывания:

Если на промежутке (а,в) функция y=f(x) имеет первую и вторую производные, то говорят, что если

1. f’(x)>0, f’’(x)>0 функция возрастает все быстрее и быстрее

2. f’(x)>0, f’’(x)<0, функция возрастает все медленнее

3. f’(x)<0, f’’(x)>0, функция убывает все медленнее

4. f’(x)<0, f’’(x)<0, функция убывает все быстрее.