4. Математические основы оценочной деятельности.
4. Математические основы оценочной деятельности.
Шесть функций денежной единицы
Итак, для определения стоимости собственности, приносящей доход, необходимо определить текущую стоимость денег, которые будут получены через какое-то время в будущем.
Известно, а в условиях инфляции куда более очевидно, что деньги изменяют свою стоимость с течением времени. Основными операциями, позволяющими сопоставить разновременные деньги, являются операции накопления (наращивания) и дисконтирования.
Накопление - это процесс приведения текущей стоимости денег к их будущей стоимости, при условии что вложенная сумма удерживается на счету в течение определенного времени, принося периодически накапливаемый процент.
Дисконтирование - это процесс приведения денежных поступлений от инвестиций к их текущей стоимости.
В оценке эти финансовые расчеты базируются на схеме расчета сложного процента, когда каждое последующее начисление дохода по ставке процента осуществляется как на основную сумму, так и на начисленные за предыдущие периоды доходы по процентам.
Всего рассматривают шесть функций денежной единицы, основанных на сложном проценте. Для упрощения расчетов разработаны таблицы шести функций для известных ставок дохода и периода накопления (i и n), кроме того, можно воспользоваться финансовым калькулятором для расчета искомой величины.
1-я функция. Будущая стоимость денежной единицы (накопленная сумма денежной единицы) (fvf, i, n):
┌ n┐
FV = PV│(1 + i) │ = PV[fvf, i, n],
└ ┘
где FV - будущая стоимость денежной единицы; PV - текущая стоимость денежной единицы; i - ставка дохода; n - число периодов накопления, в годах;
n
fvf, i, n = (1 + i) .
Если начисления осуществляются чаще чем один раз в год, то формула преобразуется в следующую:
┌ nk┐
│/ i \ │
FV = PV││1 + - │ │,
│\ k / │
└ ┘
где k - частота начислений процентов в год.
Данная функция
используется в том случае, когда известна текущая стоимость денег и необходимо
определить будущую стоимость денежной единицы при известной ставке доходов на
конец определенного периода .
Расчет будущей стоимости денежной единицы:
Пример. Определить, какая сумма будет накоплена на счете к концу 3-го года, если сегодня положить на счет, приносящий 10% годовых, 10 000 руб.
┌ 3┐
FV = 10 000│(1 + 0,1) │ = 13 310.
└ ┘
2-я функция. Текущая стоимость единицы (текущая стоимость реверсии (перепродажи)) (pvf, i, n).
Текущая стоимость единицы является обратной относительно будущей стоимости.
┌ ┐
│ 1 │
PV = FV│--------│ = FV[pvf, i, n].
│ n│
└(1 + i) ┘
Если начисление процентов осуществляется чаще, чем один раз в год, то:
┌ ┐
│ 1 │
PV = FV│-------------│.
│ nk│
└(1 + (i/k)) ┘
Пример. Какую сумму нужно вложить сегодня, чтобы к концу 5-го года получить на счете 8000 руб., если годовая ставка дохода - 10%?
┌ ┐
│ 1 │
FV = 8000│----------│ = 4967,36.
│ 5│
└(1 + 0,1) ┘
3-я функция. Текущая стоимость аннуитета (pvaf, i, n).
Аннуитет - это серия равновеликих платежей (поступлений), отстоящих друг от друга на один и тот же промежуток времени.
Выделяют обычный и авансовый аннуитеты. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то аннуитет обычный, если в начале - авансовый.
Формула текущей стоимости обычного аннуитета:
┌ / n\ ┐
│1 - │(1/1 + i) ││
│ \ / │
PV = PMT│-----------------│ = PMT[pvaf, i, n],
│ i │
└ ┘
где PMT - равновеликие периодические платежи.
Если частота начислений превышает 1 раз в год, то:
┌ 1 ┐
│1 - -----------│
│ nk│
│ (1 + i/k) │
PV = PMT│---------------│.
│ i │
│ - │
└ k ┘
Формула текущей стоимости авансового аннуитета:
┌ / 1 \ ┐
│1 - │-----------│ │
│ │ n-1│ │
│ \(1 + i) / │
PV = PMT│----------------- + 1│ = PMT([pvaf, i, n - 1] + 1).
│ i │
└ ┘
Пример. Договор аренды дачи составлен на 1 год. Платежи осуществляются ежемесячно по 1000 руб. Определить текущую стоимость арендных платежей при 12% ставке дисконтирования, если:
а) платежи осуществляются в конце месяца:
┌ 1 ┐
│1 - ---------------│
│ 1x12│
│ / / \\ │
│ │ │0,12││ │
│ │1 + │----││ │
│ │ │ 12 ││ │
│ \ \ // │
PV = 1000│-------------------│ = 11 255,08;
│ 0,12 │
│ ---- │
│ 12 │
└ ┘
б) платежи осуществляются в начале каждого месяца:
┌ 1 ┐
│1 - --------------- │
│ 12-1 │
│ / / \\ │
│ │ │0,12││ │
│ │1 + │----││ │
│ │ │ 12 ││ │
│ \ \ // │
PV = 1000│------------------- + 1│ = 11 367,63.
│ 0,12 │
│ ---- │
│ 12 │
└ ┘
4-я функция. Накопление денежной единицы за период (fvaf, i, n).
В результате использования данной функции определяется будущая стоимость серии равновеликих периодических платежей (поступлений).
Платежи также могут осуществляться в начале и в конце периода.
Формула обычного аннуитета:
┌ n ┐
│(1 + i) - 1│
FV = PMT│------------│ = PMT[fvaf, i, n].
│ i │
└ ┘
Формула авансового аннуитета:
┌ n+1 ┐
│(1 + i) - 1 │
FV = PMT│-------------- - 1│.
│ i │
└ ┘
Пример. Определить сумму, которая будет накоплена на счете, приносящем 12% годовых, к концу 5-го года, если ежегодно откладывать на счет 10 000 руб.:
а) в конце каждого года:
┌ 5 ┐
│(1 + 0,12) - 1│
FV = 10 000│---------------│ = 63 528,5;
│ 0,12 │
└ ┘
б) в начале каждого года:
┌ 5+1 ┐
│(1 + 0,12) - 1 │
FV = 10 000│----------------- - 1│ = 71 151,9.
│ 0,12 │
└ ┘
5-я функция. Взнос на амортизацию денежной единицы (iaof, i, n).
Функция является обратной величиной текущей стоимости обычного аннуитета. Взнос на амортизацию денежной единицы используется для определения величины аннуитетного платежа в счет погашения кредита, выданного на определенный период при заданной ставке по кредиту.
Амортизация - это процесс, определяемый данной функцией, включает проценты по кредиту и оплату основной суммы долга.
┌ i ┐
│----------------│
│ / 1 \ │
PMT = PV│1 - │ -------- ││ = PV[iaof, i, n].
│ │ n ││
│ \(1 + i) / │
└ ┘
При платежах, осуществляемых чаще чем 1 раз в год, используется следующая формула:
┌ i ┐
│ - │
│ k │
│--------------------│
│ 1 │
PMT = PV│1 - ---------------│.
│ nk│
│ / / i \\ │
│ │ 1 + │ - ││ │
└ \ \ k // ┘
Пример. Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 7-го года погасить кредит в 100 000 руб., выданный под 15% годовых.
┌ 0,15 ┐
│-------------------│
│ / 1 \ │
PMT = 100 000│1 - │ ----------- ││ = 24 036.
│ │ 7 ││
│ \(1 + 0,15) / │
└ ┘
6-я функция. Фактор фонда возмещения (sff, i, n).
Данная функция обратна функции накопления единицы за период. Фактор фонда возмещения показывает аннуитетный платеж, который необходимо депонировать под заданный процент в конце каждого периода для того, чтобы через заданное число периодов получить искомую сумму.
Для определения величины платежа используется формула:
┌ ┐
│ i │
PMT = FV│------------│ = FV[sff, i, n].
│ n │
└(1 + i) - 1┘
При платежах (поступлениях), осуществляемых чаще чем раз в год:
┌ i ┐
│ - │
│ k │
PMT = FV│-----------------│.
│ / i \ nk │
│ │ 1 + - │ - 1│
└ \ k / ┘
Пример. Определить, какими должны быть платежи, чтобы к концу 5-го года иметь на счете, приносящем 12% годовых, 100 000 руб. Платежи осуществляются в конце каждого года.
┌ ┐
│ 0,12 │
PMT = 100 000│---------------│ = 15 741.
│ 5 │
└(1 + 0,12) - 1┘
Аннуитетный платеж, определяемый данной функцией, включает выплату основной суммы без выплат процента (см. табл.).
Таблица
Структура таблиц шести функций денег
┌──────────┬──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ │ Функция денег │
│ ├────────────┬─────────────┬────────────┬────────────┬──────────────────┬──────────────────┤
│ │ Будущая │ Накопление │ Фактор │ Текущая │ Текущая │ Взнос │
│ │ стоимость │ единицы │ фонда │ стоимость │ стоимость │ на амортизацию │
│ │ единицы │ за период │ возмещения │ единицы │ аннуитета │ единицы │
├──────────┼────────────┼─────────────┼────────────┼────────────┼──────────────────┼──────────────────┤
│ │ │ n │ i │ 1 │ n │ i │
│ Формула │ n │ (1 + i) - 1│------------│ -------- │1 - [1 / (1 + i) ]│------------------│
│ множителя│ (1 + i) │ ------------│ n │ n │------------------│ n │
│ │ │ i │(1 + i) - 1│ (1 + i) │ i │1 - [1 / (1 + i) ]│
├──────────┼────────────┼─────────────┼────────────┼────────────┼──────────────────┼──────────────────┤
│ Дано │ PV, i, n │ PMT, i, n │ FV, i, n │ FV, i, n │ PMT, i, n │ PV, i, n │
├──────────┼────────────┼─────────────┼────────────┼────────────┼──────────────────┼──────────────────┤
│Определить│ FV │ FV │ PMT │ PV │ PV │ PMT │
├──────────┼────────────┼─────────────┼────────────┼────────────┼──────────────────┼──────────────────┤
│ │Определяется│Определяется,│Определяется│Определяется│Определяется │Определяется │
│ │будущая │какой будет │величина │текущая │текущая стоимость │регулярный │
│ │стоимость │стоимость │платежа │стоимость │будущих │периодический │
│ Тип │текущей │платежей │в погашение │денежной │аннуитетных │платеж по кредиту,│
│ решаемых │денежной │к концу │основной │суммы, │денежных платежей │включающий │
│ задач │суммы │периода │части │которая │ │проценты по │
│ │ │ │кредита (of)│будет │ │кредиту основной │
│ │ │ │ │получена │ │суммы и выплату │
│ │ │ │ │в будущем │ │кредита (on + of) │
└──────────┴────────────┴─────────────┴────────────┴────────────┴──────────────────┴──────────────────┘