Статистика (очно-зао ...

6.3 Общие индексы (агрегатные и средние)

Общий индекс (I) представляет собой отношение уровней сложного экономического явления, состоящего из элементов, непосредственно несоизмеримых.

Так, например, цены и объемы, относящиеся к различным товарам, непосредственно суммировать нельзя, то нужно выбрать некий показатель, чтобы действие суммирования имело смысл. Таким показателем для них является стоимость (товарооборот, выручка).

По способу построения общие индексы подразделяются на

• агрегатные;
• средние.

Способ построения зависит от имеющейся исходной информации.

В агрегатной формуле сводного индекса присутствуют два элемента:

• индексируемая величина, изменение которой показывает индекс (обозначим через х);
• некоторая постоянная величина, называемая весом индекса ( f )

Веса в общем индексе необходимы, так как суммировать значение признака х, по элементам разнородной совокупности неправомерно.

Общая формула агрегатного индекса записывается следующим образом:

${{I}_{x}}=\frac{\sum{{{x}_{1}}f}}{\sum{{{x}_{0}}f}}$

Но к какому периоду должны относиться веса индекса ( f ) – отчетному или базисному?

В теории индексов обычно придерживаются следующих правил:

Качественные показатели фиксировать на уровне отчетного года:

${{I}_{x}}=\frac{\sum{{{x}_{1}}{{f}_{1}}}}{\sum{{{x}_{0}}{{f}_{1}}}}$

К таким показателям относятся:

• цена;
• себестоимость;
• урожайность;
• производительность труда;
• продуктивность коров …

Количественные показатели – на уровне базисного:

${{I}_{x}}=\frac{\sum{{{x}_{1}}{{f}_{0}}}}{\sum{{{x}_{0}}{{f}_{0}}}}$

К таким показателям относятся:

• объем продукции;
• посевная площадь;
• численность коров ...

Так, общие индексы цены и объема выглядят следующим образом:

Такое построение общих индексов позволяет получить систему взаимосвязанных индексов и провести анализ влияния отдельных факторов на изменение обобщающих результативных показателей.

${{I}_{qp}}={{I}_{q}}\cdot {{I}_{p}}=\frac{\sum{{{q}_{1}}{{p}_{0}}}}{\sum{{{q}_{0}}{{p}_{0}}}}\times \frac{\sum{{{p}_{1}}{{q}_{1}}}}{\sum{{{p}_{0}}{{q}_{1}}}}=\frac{\sum{{{p}_{1}}{{q}_{1}}}}{\sum{{{q}_{0}}{{p}_{0}}}}$

Для определения абсолютного влияния отдельных факторов на прирост стоимости берут разницу между числителем и знаменателем соответствующего общего индекса:

$\begin{align}& \Delta pq=\sum{{{p}_{1}}{{q}_{1}}-\sum{{{p}_{0}}{{q}_{0}}}}=\Delta _{pq}^{q}+\Delta _{pq}^{p} \\ & \\ & \Delta _{pq}^{q}=\sum{{{q}_{1}}{{p}_{0}}-\sum{{{q}_{0}}{{p}_{0}}}} \\ & \\& \Delta _{pq}^{p}=\sum{{{p}_{1}}{{q}_{1}}-\sum{{{p}_{0}}}}{{q}_{1}} \\\end{align}$

Пример 1

Дано:

В таблице представлена информация по цене и объемам продаж группы товаров.

Найти:

Определите общие индексы цены, объема и стоимости товаров. Проанализируйте, как изменился товарооборот в целом и за счет отдельных факторов.

Решение:

Общий индекс цены определяется по формуле Пааше:

${{I}_{p}}=\frac{\sum{{{p}_{1}}\cdot {{q}_{1}}}}{\sum{{{p}_{0}}\cdot {{q}_{1}}}}=\frac{25\cdot 80+12\cdot 210+10\cdot 300}{20\cdot 80+12\cdot 210+15\cdot 300}=\frac{7520}{8620}=0.872\ (87.2%)$ – в целом по группе товаров цена продаж снизилась на 12.5%

Общий индекс объема определяется по выражению:

${{I}_{q}}=\frac{\sum{{{q}_{1}}\cdot {{p}_{0}}}}{\sum{{{q}_{0}}\cdot {{p}_{0}}}}=\frac{80\cdot 20+210\cdot 12+300\cdot 15}{100\cdot 20+200\cdot 12+250\cdot 15}=\frac{8620}{8150}=1.058\quad (105.8%)$ – объем продаж в феврале по сравнению с январем вырос на 5.8%

Общий индекс стоимости или товарооборота можно определить по формуле взаимосвязи общих индексов цены и объема продаж:

${{I}_{qp}}=0.872\cdot 1.058=0.923\quad (92,3%)$ в целом по группе товаров стоимость продаж снизилась за анализируемый период на 7.7%.

Определение абсолютного влияния цены и объема на изменение стоимости осуществляется следующим образом:

$\Delta pq=7520-8150=470-1100=-630$(руб.) товарооборот в феврале снизился на 630 руб.

Это произошло под воздействием изменения цен и объемов.

За счет снижения цены продаж товарооборот упал на $\Delta _{pq}^{p}=7520-8620=-1100$ руб., а вот за счет изменения объема продаж, напротив увеличился на $\Delta _{pq}^{q}=8620-8150=470$руб.

Средний индекс – это общий индекс, вычисленный как средневзвешенная величина из значений индивидуальных индексов. Средний индекс представляет собой преобразование агрегатного индекса.

Общий индекс цен рассчитывается как средняя гармоническая величина из индивидуальных индексов цен, где в качестве веса выступает стоимость продукции отчетного периода.

${{I}_{p}}=\frac{\sum{{{p}_{1}}\cdot {{q}_{1}}}}{\sum{{{p}_{0}}\cdot {{q}_{1}}}}\quad {{I}_{p}}=\frac{\sum{{{p}_{1}}\cdot {{q}_{1}}}}{\sum{\frac{{{p}_{1}}\cdot {{q}_{1}}}{{{i}_{p}}}}}\quad \quad {{i}_{p}}=\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{0}}}\quad \Rightarrow \quad {{p}_{0}}=\frac{{{p}_{1}}}{{{i}_{p}}}$

Общий индекс объема рассчитывается как средняя арифметическая величина из индивидуальных индексов объемов, где в качестве веса выступает стоимость продукции базисного периода.

${{I}_{q}}=\frac{\sum{{{q}_{1}}\cdot {{p}_{0}}}}{\sum{{{q}_{0}}\cdot {{p}_{0}}}}\quad {{I}_{q}}=\frac{\sum{{{i}_{q}}\cdot {{q}_{0}}\cdot {{p}_{0}}}}{\sum{{{q}_{0}}\cdot {{p}_{0}}}}\quad \quad {{i}_{q}}=\frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{0}}}\quad \Rightarrow \quad {{q}_{1}}={{i}_{q}}\cdot {{q}_{0}}$

Пример 2

Дано:

В таблице представлена стоимость продукции в отчетном периоде и относительное изменение цен на товары, произошедшее за анализируемый период.

Найти:

Определите общий индекс цены и абсолютное изменение стоимости товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом за счет изменения цены.

Решение:

В общепринятых обозначениях второй столбец исходной таблицы это p₁q₁. Зная относительное изменение цены, можно определить индивидуальный индекс цены по каждому товару:

Для товара 1 ${{i}_{p}}=\frac{100+(+4)}{100}=1.04$

Для товара 2 цена не изменилась, следовательно ${{i}_{p}}=1.00$

Для товара 3 ${{i}_{p}}=\frac{100+(-6.8)}{100}=0.932$

Для каждого товара известно p₁q₁ и i_p

Общий индекс цены определяется по формуле: ${{I}_{p}}=\frac{\sum{{{p}_{1}}\cdot {{q}_{1}}}}{\sum{{{p}_{0}}\cdot {{q}_{1}}}}$

Числитель нам известен, для определения знаменателя необходимо провести ряд дополнительных вычислений исходя из следующих тождеств:

${{i}_{p}}=\frac{{{p}_{1}}}{{{p}_{0}}}\quad \Rightarrow \quad {{p}_{0}}=\frac{{{p}_{1}}}{{{i}_{p}}}\quad {{I}_{p}}=\frac{\sum{{{p}_{1}}\cdot {{q}_{1}}}}{\sum{\frac{{{p}_{1}}\cdot {{q}_{1}}}{{{i}_{p}}}}}\quad \quad$

Таким образом общий индекс цены равен:

${{I}_{p}}=\frac{230+210+290}{\frac{230}{1.040}+\frac{210}{1.000}+\frac{290}{0.932}}=\frac{730}{742.31}=0.983\quad \quad \quad \quad 98,3%\quad$

Цены по данной товарной группе в текущем периоде по сравнению с базисным в среднем снизились на 1,7%

Абсолютное изменение стоимости за счет изменения цены составило:

$\Delta _{pq}^{p}=730-742.31=-12.31$(тыс. руб)

Пример 3

Дано:

В таблице представлена стоимость продукции в базисном периоде и относительное изменение объема продаж произошедшее за анализируемый период.

Найти:

Определите общий индекс объема и абсолютное изменение стоимости продукции за счет изменения объема:

Решение:

Общий индекс объема определяется по формуле: ${{I}_{q}}=\frac{\sum{{{q}_{1}}\cdot {{p}_{0}}}}{\sum{{{q}_{0}}\cdot {{p}_{0}}}}$

Из анализа исходной информации следует, что знаменатель в этой формуле нам известен – это стоимость продукции базисного периода.

По относительному изменению объема продаж определим индивидуальные индексы объема по всем товарам:

Для товара 1: ${{i}_{q}}=\frac{100+(-6.4)}{100}=0.936$

Для товара 2: ${{i}_{q}}=\frac{100+(-8.2)}{100}=0.918$

Для товара 3: ${{i}_{q}}=\frac{100+(+1.3)}{100}=1.013$

Для нахождения числителя общего индекса объема следует воспользоваться следующими преобразованиями:

${{i}_{q}}=\frac{{{q}_{1}}}{{{q}_{0}}}\quad \Rightarrow \quad {{q}_{1}}={{i}_{q}}\cdot {{q}_{0}}\quad {{I}_{q}}=\frac{\sum{{{i}_{q}}\cdot {{q}_{0}}\cdot {{p}_{0}}}}{\sum{{{q}_{0}}\cdot {{p}_{0}}}}\quad \quad$

Таким образом общий индекс объема равен:

${{I}_{q}}=\frac{0.936\cdot 460+0.918\cdot 270+1.013\cdot 510}{460+270+510}=\frac{1195.05}{1240}=0.964\quad \quad 96,4%$

Физический объем реализации данных товаров в среднем снизился на 3,6%

Абсолютное изменение стоимости за счет объема:

$\Delta _{pq}^{q}=1195.05-1240=-44.95$ тыс. руб.