Деньги, кредит, банк ...

Практически все финансово-экономические расчеты, так или иначе, связаны с начислением процентов. В банковской практике применяются простые и сложные проценты.

Процентные деньги (проценты) - это сумма доходов от предоставления денег в долг в различных формах (выдача ссуды, открытие депозитных счетов, покупка облигаций, сдача оборудования в аренду и др.).

Сумма процентных денег зависит от трех факторов:

1)   суммы основного долга (размера ссуды);

2)   срока погашения;

3)      процентной ставки, которая характеризует интенсивность начисления процентов.

Проценты могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к сумме долга. Увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов называют наращением первоначальной суммы долга.

Отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга называют множителем (коэффициентом) наращения (Кн):

K_H = S/P,

где S - наращенная сумма (погашаемая);

Р - первоначальная сумма долга.

Кн всегда больше единицы.

Интервал времени, за который начисляют проценты, называют периодом начисления.

При использовании простых ставок процентов сумма процентных денег в течение всего срока долга определяется исходя из его первоначальной суммы, независимо от периодов начисления и их длительности, т.е. отсутствует капитализация процентов (начисление процентов на процент).

При использовании сложных ставок начисленные за предыдущий период проценты прибавляются к сумме долга и на них в следующем периоде начисляются проценты (имеет место капитализация процентов).

Величина самих ставок (и простых, и сложных) может меняться или оставаться неизменной. Если процентная ставка изменяется, но при этом нет капитализации, т.е. проценты всегда начисляются на одну и ту же сумму, то они будут простыми. Если же будет капитализация даже при неизменных процентных ставках, то проценты - сложные.

Как простые, так и сложные проценты, могут начисляться двумя методами:

1)    декурсивным - проценты начисляются в конце каждого интервала;

2)     антисипативным - проценты начисляются в начале каждого интервала.

В первом случае величина процентных денег определяется исходя из величины предоставленного кредита. Декурсивная процентная ставка называется ссудным процентом. Это отношение суммы начисленного за интервал времени дохода к первоначальной сумме (сумме на начало интервала начисления процентов):

i = Доход х 100% / Р.

При антисипативном (предварительном) методе начисления процентов сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентная ставка (d) называется учетной или антисипативной:

d = Доход х 100% / S.

Более распространен в мировой практике декурсивный метод.

Рассмотрим различные виды ставок и методы их начисления в соответствии со следующим планом:

1)    простые декурсивные процентные ставки;

2)     сложные декурсивные процентные ставки;

3)     простые антисипативные (учетные) ставки;

4)     сложные антисипативные (учетные) ставки;

5)     эквивалентные процентные ставки.

Декурсивный метод начисления простых процентов Начисление простых ставок применяется, как правило, при краткосрочном кредитовании.

Введем обозначения:

S - наращенная сумма, р.;

Р - первоначальная сумма долга, р.; i - годовая процентная ставка (в долях единицы); п - срок ссуды в годах.

В конце первого года наращенная сумма долга составит

Si=P + Pi = P(l+i);

в конце второго года:

S₂ = Si + Pi = P(l+i) + Pi = P(l+2i); в конце третьего года:

S3 = S2 + Pi = Р (1+ 2 i) + Р i = Р (1+3 i) и так далее.

В конце срока n:            Si = Р (1+ n i).

Это формула наращения по простой ставке процентов.

Надо иметь в виду, что процентная ставка и срок должны соответствовать друг другу, т.е. если берется годовая ставка, то срок должен быть выражен в годах (если квартальная, то и срок - в кварталах и т.д.).

Выражение в скобках представляет собой коэффициент наращения по простой ставке процентов:

K_H = (l+ni).

Следовательно,

Si= Р К_н.

Задача 5.1

Банк выдал ссуду в размере 5 млн р. на полгода по простой ставке процентов 12% годовых. Определить погашаемую сумму.

Решение:

S = 5 млн. (1 +0.5 ■ 0.12) = 5 300 000 p.

Если срок, на который деньги берутся в долг, задан в днях, наращенная сумма будет равна                                     S = Р (1 + д/К • i),

где д - продолжительность срока в днях;

К - число дней в году.

Величину К называют временной базой.

Временная база может браться равной фактической продолжительности года - 365 или 366 (тогда проценты называются точными) или приближенной, равной 360 дням (тогда это обыкновенные проценты).

Значение числа дней, на которые деньги взяты в долг, может также определяться точно или приближенно. В последнем случае продолжительность любого целого месяца принимается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи денег в долг и дата их возвращения считается за один день.

Задача 5.2

Банк выдал ссуду в размере 200 тыс. р. с 12.03 по 25.12 (год високосный) по ставке 7% годовых. Определить размер погашаемой суммы с различными вариантами временной базы при точном и приближенном числе дней ссуды и сделать вывод о предпочтительных вариантах с точки зрения банка и заемщика.

Решение:

Точное число дней ссуды с 12.03. по 25.12:

20+30+31 +30+31 +31 +30+31 +30+25=289.

Приближенное число дней ссуды:

20+8 -30+25=285;

а) Точные проценты и точное число дней ссуды:

S =200 000 (1+289/366 • 0.07) = 211 016 р.;

б) обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:

S =200 000 (1+289/360 • 0.07) =211 200;

в) обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:

S= 200 000 (1+285/360 • 0.07) =211 044;

г) точные проценты и приближенное число дней ссуды:

S= 200 ООО (1+285/366 • 0.07) =210 863.

Таким образом, самая большая наращенная сумма будет в варианте б) - обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, а самая маленькая - в варианте г) - точные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Следовательно, с точки зрения банка как кредитора предпочтительным является вариант б), а с точки зрения заемщика - вариант г).

Надо иметь в виду, что кредитору в любом случае более выгодны обыкновенные проценты, а заемщику - точные (при любых ставках - простых или сложных). В первом случае наращенная сумма всегда больше, а во втором случае - меньше.

Если ставки процентов на разных интервалах начисления в течение срока долга будут различными, наращенная сумма определяется по формуле

                        N

S=P(l+∑n_t*i_t),

                  t=l

где N - количество интервалов начисления процентов;

n_t - длительность t-ro интервала начисления;

it - ставка процентов на t- м интервале начисления.

Задача 5.3

Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 10%, а потом каждые полгода увеличивается на 2 процентных пункта. Определить размер вклада в 50 тыс. р. с процентами через 3 года.

Решение:

S = 50 000 (1 + 0.1 + 0.5 • 0.12 + 0.5 • 0.14 + 0.5 • 0.16 + 0.5 • 0.18) = 70 000 р.

Используя формулу для наращенной суммы, можно определить срок ссуды при прочих заданных условиях.

Срок ссуды в годах:

                      S-P

N = --------------------

                     Р* i

Определить срок ссуды в годах, за который долг 200 тыс. р. возрастет до 250 тыс. р. при использовании простой ставки процентов - 16% годовых.

Решение:

(250 000 - 200 000) / (200 000 • 0.16) = 1.56 (лет).

Из формулы для наращенной суммы можно определить ставку простых процентов, а также первоначальную сумму долга.

Решить самостоятельно Задача 5.5

При выдаче кредита 600 тыс. р. оговорено, что заемщик вернет через два года 800 тыс. р. Определить использованную банком величину ставки процентов.

Ответ: 17%.

Задача 5.6

Ссуда, выданная по простой ставке 15% годовых, должна быть возвращена через 100 дней. Определить сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, полученных банком, если возвращаемая сумма должна составить 500 тыс. р. при временной базе 360 дней.

Ответ: 480 000 р.

Операцию нахождения первоначальной суммы долга по известной погашаемой называют дисконтированием. В широком смысле термин "дисконтирование" означает определение значения Р стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она будет равна заданному значению S. Подобные расчеты называют также приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а значение Р, определенное дисконтированием, называют современным, или приведенным, значением стоимостной величины. Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени. Коэффициент дисконтирования всегда меньше единицы.

Формула дисконтирования по простой ставке процентов:

Р = S / (1 + ni),           где 1 / (1 + ni) - коэффициент дисконтирования.

Декурсивный метод начисления сложных процентов

При долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты после очередного периода начисления присоединяются к сумме долга, и в следующем периоде проценты начисляются на общую сумму, т.е. с капитализацией процентов. Такие проценты называются сложными, база для их начисления увеличивается с каждым очередным периодом начисления.

Наращенная сумма за n лет при использовании постоянной годовой ставки сложных процентов i_c определяется по формуле

S =Р(1 +i_c)ⁿ.

Задача 5.7

Банк выдал ссуду 500 тыс. р. на 3 года. Определить погашаемую сумму при использовании сложной ставки 18% годовых и сумму процентных денег.

Решение:

S = 500 ООО (1 + 0.18)³ = 821 516 р.

Процентные деньги = 821 516 - 500 000 = 321 516 р.

Начисление сложных процентов при сроке ссуды более одного года дает большую сумму процентных денег, чем начисление простых процентов.

Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году (по месяцам, кварталам, полугодиям), то используется номинальная ставка процентов - годовая ставка, исходя из которой определяется величина ставки процентов, применяемой в каждом периоде начисления.

Наращенная сумма при этом определяется по формуле

S = P(l+j/m)^mn, где j - номинальная ставка сложных процентов, десятичная дробь;

m - количество периодов начисления процентов в году;

п - срок ссуды в годах;

j / ш - ставка процентов в каждом периоде начисления, десятичная дробь.

Задача 5.8

Банк ежеквартально начисляет проценты на вклады по номинальной ставке 16% годовых. Определить сумму, полученную вкладчиком через 5 лет, если первоначальная сумма вклада равна 100 тыс. р.

Решение:

S = 100 000(1 +0.16/4)^4х5 = 219 112.2 р.

Из формулы для наращенной суммы можно определить значение суммы, выдаваемой заемщику, т.е. осуществить дисконтирование суммы S по сложной ставке процентов.

Решите самостоятельно

Задача 5.9

Определите современную величину суммы 500 тыс. р., которая будет выплачена через 3 года при использовании ставки сложных процентов 20% годовых.

Срок ссуды (из формулы наращенной суммы) определится

n = log (S/Р) / log (1+i).

Логарифмы могут браться с любыми равными основаниями.

Задача 5.10

Банк начисляет сложные проценты по ставке 12% годовых. Определите срок в годах, за который сумма вклада в 25 тыс. руб. вырастет до 40 тыс. р.

Сумма долга удвоилась за 3 года. Определить использованную годовую ставку сложных процентов.

Антисипативный метод начисления простых процентов (простые учетные ставки)

При использовании учетных ставок сумма процентных денег от предоставления денег в долг определяется исходя из суммы, которая должна быть возвращена, т.е. величиной получаемого кредита считается не получаемая, а наращенная сумма. Процентные деньги, начисленные по учетной ставке, удерживаются непосредственно при выдаче ссуды, а заемщик получает сумму кредита сразу за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом. Сумма процентных денег, начисленная по учетной ставке, называется дисконтом.

Сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле

Р = S (1 - n d),

где d - простая учетная ставка;

(1 - n d) - коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.

Из формулы видно, что, в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любые значения, коэффициент дисконтирования не может быть отрицательным, т.е. n*d должно быть строго меньше единицы. Значения d, близкие к предельным, на практике не встречаются.

Задача 5.12

Заемщик берет ссуду на квартал с обязательством возвратить 100 тыс. р. Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, удержанного банком, при учетной ставке 15% годовых.

Решение:

Р= 100 000(1 -0.25x0.15) = 96 250 p.

Дисконт = S - Р = 100 000 - 96 250 = 3 750 р.

Если срок ссуды задан в днях (д), сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле

P = S(l-d*д/K),

где К - количество дней в году (временная база).

Решите самостоятельно

Задача 5.13

Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, полученного банком, если по договору заемщик должен через 200 дней возвратить 100 тыс. р. при учетной ставке банка 10% годовых и временной базе 360 дней.

 

На практике учетные ставки используются при покупке (учете) векселей и других денежных обязательств. В этом случае банк или другое финансовое учреждение до наступления срока по векселю покупает его у владельца (поставщика) по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, или, как принято говорить, банк учитывает вексель с дисконтом. Владелец векселя при этом получает деньги ранее указанного в векселе срока за вычетом дохода банка в виде дисконта. Банк, получив при наступлении срока оплаты векселя указанную в нем сумму, реализует (получает) дисконт.

Указанную операцию можно рассматривать как выдачу банком ссуды в размере суммы, указанной в векселе, по учетной ставке, используемой при его учете, на срок, равный сроку от даты учета до даты погашения векселя. Следовательно, сумма, выдаваемая владельцу учитываемого векселя, будет определяться по формуле

P = S(1 -An*d) = S(l -d-Ад/К),

где Ап = Ад / К - срок в днях от даты учета до даты погашения векселя;

Ад - число дней от даты учета до даты погашения векселя.

Задача 5.14

При учете векселя на сумму 100 тыс. р., до срока оплаты которого осталось 80 дней, банк выплатил его владельцу 98 тыс. р. Определить, какую учетную ставку использовал банк при временной базе 360 дней.

Решение:

d = (100 000 - 98 000) х 360 / (100 000 х 80) = 0.09 = 9%.

Решите самостоятельно Задача 5.15

Вексель на сумму 200 тыс. р. учет в банке за 30 дней до срока его погашения по учетной ставке 15% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя, и сумму дисконта, полученную банком, при временной базе 360 дней.

Задача 5.16

Банк выдает ссуды по учетной ставке 15% годовых. Определить срок ссуды в годах, если заемщик хочет получить 500 тыс. р., а погашаемая сумма должна составить 550 тыс. р

 

Антисипативный метод начисления сложных процентов (сложные учетные ставки)

Введем следующие обозначения:

d_c - сложная учетная ставка;

f - номинальная годовая учетная ставка (применяется при начислении процентов по учетной ставке несколько раз в году);

Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:

Р = S (1 - dc)n.

Наращенная сумма через п лет: S = Р / (1 - d_c)ⁿ.

Здесь 1 / (1 - dc)n - коэффициент наращения по сложной учетной ставке.

При равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативным методом) идет быстрее. Поэтому в литературе можно встретить утверждение о том, что декурсивный метод начисления процентов более выгоден заемщику, а антисипативный - кредитору. Однако это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в наращенных суммах становится огромной (и растет с ростом %), и сравнение этих двух методов теряет всякий смысл.

Из формулы следует, что учетная ставка может принимать значения только строго меньше 100%. Наращенная сумма быстро увеличивается с ростом учетной ставки, стремясь к бесконечности.

Если учетная ставка изменяется в течение срока ссуды:

N

S = Р / П (1 - n_t d_t).

                                                               1=1

Здесь п_ь п₂, ... n_N - продолжительность интервалов начисления в годах;

dj, d₂, ... d_N - учетные ставки в этих интервалах;

Если начисление процентов m раз в году, то

S = Р / (1 - f/m)^mn.

Если провести расчеты S для разных видов процентных ставок (простых и сложных ссудных и учетных) при одинаковых Р и размерах процентных ставок, то наибольший рост капитала получится в случае начисления процентов по простой учетной ставке.

Задача 5.17

Первоначальная сумма долга - 25 тыс. р. Определить наращенную сумму через 3 года при применении декурсивного и ангисипативного способов начисления процентов. Годовая процентная ставка - 25%.

Решение:

51                                                                                                           = 25 000 (1 + 0.25)³ = 48 828,125 р.;

52                                                                                                          = 25 000 (1 - 0.25)'³ = 59 255,747 р.

Решите самостоятельно

Задача 5.18

Определить современное значение суммы в 120 000 р., которая будет выплачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.

Задача 5.19.

Определить наращенные суммы для различных видов процентных ставок при одинаковых начальных условиях: Р = 10 000 р., процентная ставка = 10%.

Результаты расчетов свести в таблицу и сравнить скорости наращения.

 

Для примера в верхней строке приведены результаты расчетов наращенных сумм по простой ссудной ставке при сроках ссуды, равных одному, трем и шести годам. Пустые строки следует заполнить самостоятельно.

В формуле расчета для непрерывного начисления процентов е - основание натурального логарифма. Для n = 1: S = 10 000 х 2.7°^{1 х 1} = 11 044.

Эквивалентные процентные ставки

Эквивалентные процентные ставки - это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Их необходимо знать, когда существует возможность выбора условий финансовых операций и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных видов ставок (обычно это наращенная сумма). На основании равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. Например, для нахождения простой учетной ставки, эквивалентной простой ссудной ставке, уравнение эквивалентности будет иметь вид

Р (1 + ni) = Р/ (1 - nd) или (1 + ni) = 1 / (1 - nd),

т.е. необходимо приравнять соответствующие коэффициенты наращения.

Отсюда d = i/(l+ni) и i = d / (1 — nd).

Задача 5.20

Срок уплаты по долговому обязательству - полгода, простая учетная ставка - 18%. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудных процентов?

Решение:

i = 0.18 / (1 -0.5x0.18) = 0.198 = 19.8%.

Для нахождения эквивалентности между собой годовой сложной ссудной ставки и годовой сложной номинальной ссудной ставки приравняем выражения:

S = Р (1 + i_c)ⁿ и S = Р (1 + j/m)™,                        т.е. (1 + i_c)ⁿ = (1 + j/m)^mn.

Отсюда i_c = (1 + j/m)¹¹¹ - 1.

Полученная годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Ее необходимо знать для определения реальной доходности или сравнения процентов, когда используются разные интервалы начисления.

Задача 5.21

Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка 24% и начисление процентов ежемесячное.

Решение:

i_c= (1 +0.24/12)¹² - 1 =0.268 = 26.8%.

Задача 5.22

Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 000 тыс. р. на 5 лет:

а) под простую ссудную ставку 20% годовых;

б) под сложную ссудную ставку 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов.

Решение:

Здесь не обязательно считать величину наращенной суммы при различных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно, например, найти простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, т.е. использовать формулу

i = [(1 + j /m)™¹ — 1] /п = [(1 + 0.12 /4)²⁰ - 1] / 5 = 0.1612 = 16.12%.

Поскольку простая процентная ставка 16.12%, которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой (12%) результат, значительно ниже предложенной в первом варианте ставки (20%), ясно, что гораздо выгоднее первый вариант вложения (под простую ставку 20% годовых).

Посчитаем теперь наращенные суммы в обоих случаях:

а)  S = 10 000 (1 + 5 х 0.2) = 20 000 тыс. р.;

б) S = 10 000 (1 + 0.12 / 4)²⁰ = 18 061 тыс. р.

Полученный результат подтверждает ранее сделанный вывод о том, что первый вариант более выгоден, поскольку дает большую сумму наращения. При этом использование эквивалентных ставок вдвое сокращает расчеты.

Решите самостоятельно

Задача 5.23

Вексель учтен за три месяца до срока его погашения по учетной ставке 20% годовых. Определить значение эквивалентной ставки простых процентов, определяющей доходность операции учета.

Задача 5.24

Простая ставка процентов равна 20% годовых. Определить значение эквивалентной ей учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.

Задача 5.25

Кредит на два года предоставлен по ставке сложных процентов 16% годовых. Определить значение эквивалентной учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.

Задача 5.26

По депозитному сертификату сроком на пять лет начисляются простые ссудные проценты по ставке 15% годовых. Определить эквивалентную ставку сложных процентов.

Задача 5.27

Банк ежемесячно начисляет проценты на вклады по номинальной годовой ставке 12% годовых. Определить доходность вкладов по сложной годовой ставке процентов.

 

Можно сделать следующие выводы:

1. Значение эффективной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при m = 1.
2. Простая учетная ставка всегда меньше эквивалентных ей других ставок (поскольку наращение по этой ставке при прочих равных условиях всегда быст- рее).
3. Эквивалентность различных процентных ставок не зависит от величины первоначальной суммы Р (первоначальная сумма предполагается одинаковой).
4. Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления процентов за исключением случаев эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).