9.3. Модель Блэка - Шоулза
9.3. Модель Блэка - Шоулза
Если временной интервал между испытаниями становится бесконечно малым, т.е. торговля, в сущности, происходит непрерывно, то биномиальная модель становится моделью Блэка - Шоулза. Исходной предпосылкой модели выступает нормальное распределение вероятностей.
На базе этой посылки составляется основная формула модели (относительно европейского опциона "колл"):
-yT -rT
V = Se N (d ) - Ke N (d ),
1 2
где V - стоимость опциона (в случае когда мы оцениваем акционерный
капитал какой-либо компании - это стоимость акционерного капитала, в
случае когда мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта - это
стоимость инвестиционного проекта); S - текущая стоимость базисного актива
(в случае когда мы оцениваем акционерный капитал какой-либо компании - это
стоимость активов компании (лучше рыночная), в случае когда мы оцениваем
стоимость инвестиционного проекта - это текущая стоимость товаров (работ,
услуг), реализация (оказание, выполнение) которых и принесет предполагаемый
доход от инвестиционного проекта (или же совокупные доходы от
инвестиционного проекта)); K - цена исполнения опциона (в случае когда мы
оцениваем акционерный капитал какой-либо компании - это сумма долга с
процентами, в случае когда мы оцениваем стоимость инвестиционного
проекта - это стоимость реализации инвестиционного проекта (или же
совокупные расходы на реализацию инвестиционного проекта)); e = 2,7183;
N (d ), N (d ) - вероятности того, что при нормальном распределении со
1 2
средней величиной, равной нулю, и стандартным отклонением, равным единице,
результат будет соответственно меньше d и d <1>; y - дивидендная
1 2
доходность по базисному активу (в случае когда мы оцениваем акционерный
капитал какой-либо компании - это дивиденды, которые выплачиваются
акционерам (в процентах), в случае когда мы оцениваем стоимость
инвестиционного проекта - это дивидендная доходность, равная стоимости
задержки реализации инвестиционного проекта (в процентах)).
--------------------------------
<1> Для расчета значений N (d ) и N (d ) в программе Microsoft Excel
1 2
необходимо использовать функцию "НОРМРАСПР". Для расчета N (d ) входные
1
данные для этой функции будут следующими: x = d ; среднее = 0; стандартное
1
отклонение = 1; интегральная = ИСТИНА, т.е. "НОРМРАСПР (d ; 0; 1; ИСТИНА)".
1
Для расчета входные данные для этой функции будут следующими: x = d ;
2
среднее = 0; стандартное отклонение = 1; интегральная = ИСТИНА, т.е.
"НОРМРАСПР (d ; 0; 1; ИСТИНА)". - Прим. авт.
2
Пример. У компании есть возможность осуществить определенный инвестиционный проект в течение следующих 10 лет. Сумма совокупных доходов от этого проекта напрямую зависит от того, в какой момент в течение этих 10 лет компания начнет реализацию проекта, т.е. каждый год (день, месяц) будет означать потерю части доходов от проекта. В этом случае отсрочка, равная 1 году в реализации инвестиционного проекта, приведет к потере 10% доходов. Таким образом, дивидендная доходность будет равна 10%.
В случае когда отсрочка в реализации инвестиционного проекта в рамках срока действия опциона не повлияет на совокупные доходы (не приведет к потерям доходов) от проекта, дивидендная доходность равна нулю:
S 2
ln (---) + (r - y + 0,5 сигма ) T
K ──
d = ----------------------------------; d = d - сигма /T ;
1 ── 2 1 \/
сигма /T
\/
где r - безрисковая процентная ставка; сигма - стандартное отклонение
2
вероятностей (сигма - дисперсия) (в случае когда мы оцениваем акционерный
капитал какой-либо компании, это дисперсия стоимости акций компании); T -
срок действия опциона, годы (в случае когда мы оцениваем акционерный
капитал какой-либо компании - это дюрация долга компании, в случае когда
мы оцениваем стоимость инвестиционного проекта - это количество лет, в
течение которых возможна реализация инвестиционного проекта).
Пример. У компании есть возможность начать и осуществить определенный инвестиционный проект в течение следующих 15 лет. Стоимость затрат на запуск и осуществление этого инвестиционного проекта составляет 550 000 ден. ед. Приведенная стоимость доходов, которые могут получены от реализации этого проекта, оценивается в 450 000 ден. ед. Но существует вероятность того, что продукция, выпускаемая в рамках этого проекта, будет пользоваться большим спросом. В таком случае денежные потоки по проекту могут возрасти. Дисперсия денежных потоков оценивается в 0,25. Безрисковая ставка процента составляет 8%. Дивидендная доходность равна 0.
Необходимо определить стоимость реального опциона, которым обладает компания, используя модель Блэка - Шоулза.
Решение:
- стоимость базисного актива = приведенная стоимость доходов от проекта
S = 450 000 ден. ед.;
- цена исполнения опциона = стоимость запуска и осуществления проекта
К = 550 000 ден. ед.;
- срок действия опциона Т = 15 лет;
2
- дисперсия стоимости базисного актива сигма = 0,25;
- дивидендная доходность по базисному активу y = 0;
- безрисковая ставка процента r = 8 %.
Сначала рассчитаем d и d :
1 2
┌ ┐
│ S │ 2
ln │---│ + (r + 0,5 сигма ) T
│ K │
└ ┘
d = ------------------------------ =
1 ──
сигма /T
\/
┌ ┐
│450 000│
ln │-------│ + (0,08 - 0 + 0,5 x 0,25) x 15
│550 000│
└ ┘
------------------------------------------- = 1,4843.
──── ───
/0,25 x /15
\/ \/
─── ──── ───
d = d - сигма / T = 1,4843 - /0,25 x /15 = -0,4522.
2 1 \/ \/ \/
N (d ) = 0,9311, N (d ) = 0,3256.
1 2
Теперь рассчитаем стоимость опциона:
-yT -rT - 0 x 15
c = Se N (d ) - Ke N (d ) = 450 000 x 2,7183 x 0,9311 -
1 2
-0,08 x 15
550 000 x 2,7183 x 0,3256 = 365 078,74 ден. ед.