Определители

Квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие некоторое число, называемое определителем n –го порядка матрицы А. Если n=2, то определитель называется определителем второго порядка.

Определитель 2-го порядка вычисляется по следующей формуле (произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали):

Пример 1.1: .

Если явный вид определителя не нужен, то используются обозначения .

Примечание. В ряде приложений определитель рассматривается как самостоятельный математический объект без привязки к матрице.

Свойства определителей:

1.Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из одних нулей, то определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя умножить на число k, то и определитель умножится на это число k.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .

4. При перестановке двух строк (столбцов) определителя он меняет знак на противоположный.

5. Если определителя содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

6. Если элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то он равен нулю.

7. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца) с тем же номером, предварительно умноженные на одно и то же число.

Для вычисления определителя порядка выше третьего используется рекуррентный подход, когда определитель n-го порядка вычисляется через определители
-го порядка.

Если порядок матрицы равен единице, то эта матрица состоит из одного элемента и её определителем будет величина элемента .

Определитель 3-го порядка вычисляется по следующей формуле:

(1.2)

.

На практике для расчета определителей третьего порядка применяют две вычислительные схемы. Эти схемы известны как "правило треугольника" (или "правило звездочки") и "правило Саррюса".

По правилу треугольника сначала перемножаются и складываются элементы, соединенными на схеме линиями , т.е. получаем сумму произведений: . Затем перемножаются и складываются элементы, соединенные на схеме , т.е. получаем другую сумму произведений (со знаком минус) . И, наконец, чтобы вычислить определитель, из первой суммы вычитают вторую. Окончательно

.

По правилу Саррюса к определителю справа дописывают два первых столбца, а затем считают сумму произведений элементов определителя в одном направлении и из нее вычитают сумму произведений элементов в другом направлении:

Можно убедиться, что результат будет таким же, что и при вычислении определителя по правилу треугольника.

Пример 1.2.: Вычислить определитель .

Решение. Вычислим определитель по правилу звездочки

и по правилу Саррюса

т.е. получаем одинаковый результат для обеих вычислительных схем, как и ожидалось.

Для вычисления определителей произвольного порядка в основном используется метод понижения порядка с использованием алгебраических дополнений.