НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ЛЕКЦИЯ 1
1. Предмет начертательной геометрии
Начертательная геометрия является одной из основных дисциплин в профессиональной подготовке инженеров технических специальностей, в том числе строительных.
Важное прикладное значение этой дисциплины состоит в том, что она учит владеть графическим языком — чертежом, способствует развитию пространственного воображения и умению мысленно создавать представление о форме и размерах объекта по его изображению на плоскости.
2. Сущность метода проекций. Способы проецирования
В основе любого изображения лежит способ проецирования. Сущность проецирования заключается в определении пересечения лучевой поверхности, обертывающей предмет, с плоскостью. Лучевая поверхность состоит из лучей, называемых проецирующими.
Плоскость, на которой получается изображение, называется плоскостью проекций. Если проецирующие лучи исходят из одной точки, способ проецирования называется центральным. Если лучи параллельны между собой — параллельным. Параллельное проецирование бывает косоугольным, если лучи наклонены к плоскости проекций, и прямоугольным (ортогональным), если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций.
3. Точка, прямая, плоскость
3.1. Точка
Прямоугольной проекцией точки является точка пересечения перпендикуляра (проецирующего луча), проходящего через точку, с плоскостью проекций. Проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций однозначно определяют положение точки в пространстве. Расстояния от точки до плоскостей проекций называются координатами точки (X; Y; Z). Иногда удобно воспользоваться и третьей проекцией точки (объекта) на плоскость перпендикулярную двум другим плоскостям проекций. Поэтому рассмотрим сразу систему из трех плоскостей проекций.
На рисунке 1, а изображены три взаимно перпендикулярные плоскости проекций:
Н — горизонтальная плоскость проекций;
V — фронтальная плоскость проекций;
W — профильная плоскость проекций.
Линии пересечения плоскостей проекций — оси координат: X, Y, Z. Трехгранные углы (части пространства, ограниченные плоскостями проекций) называются октантами и нумеруются римскими цифрами (рис. 1, а).
Для преобразования пространственной модели плоскостей проекций в плоский чертеж, их совмещают с фронтальной плоскостью проекций. Стрелками показано направление вращения плоскостей Н и W .
Плоский чертеж, содержащий две или три проекции объекта, в начертательной геометрии называется эпюр. Расположение осей координат на эпюре приведено на рисунке 1, б.
|
а |
б |
|
Рис. 1. Система трех плоскостей проекций: а — аксонометрическое изображение; б — расположение осей на эпюре |
|
На рисунке 2, а точка А принадлежит первому октанту, эпюр точки построен на рисунке 2, б.
a — горизонтальная проекция точки А;
a’ — фронтальная проекция точки А;
a” — профильная проекция точки А.
Линии, соединяющие проекции точки на эпюре называются линии связи. Горизонтальная и фронтальная проекция точки на эпюре всегда лежат на одном перпендикуляре (линии связи) к оси Х. Фронтальная и профильная проекции точки всегда лежат на одном перпендикуляре к оси Z.
|
а |
б |
|
Рис. 2. Точка, принадлежащая 1 октанту: а — аксонометрическое изображение; б — эпюр точки |
|
На рисунке 3, а точка Б принадлежит второму октанту, эпюр точки построен на рисунке 3, б.
|
а |
б |
|
Рис. 3. Точка, принадлежащая второму
октанту: |
|
3.2. Прямая
3.2.1. Положение прямой линии относительно плоскостей проекций
Прямая линия может быть наклонена к плоскостям проекций, быть параллельна какой-нибудь плоскости проекций или перпендикулярна плоскости проекций.
Прямая общего положения — прямая, не параллельная ни одной плоскости проекций (рис. 4).
|
а |
б |
|
Рис. 4. Прямая общего положения: а — аксонометрическое изображение; б — эпюр прямой |
|
Линия уровня — прямая, параллельная какой-либо одной плоскости проекций.
Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной линией уровня (рис. 5).
|
а |
б |
|
Рис. 5. Горизонтальная линия уровня: а — аксонометрическое изображение; б — эпюр прямой |
|
Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной линией уровня (рис. 6).
|
а |
б |
|
Рис. 6. Фронтальная линия уровня: а — аксонометрическое изображение; б — эпюр прямой |
|
Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной линией уровня (рис. 7).
|
а |
б |
|
Рис. 7. Профильная линия уровня: а — аксонометрическое изображение; б — эпюр прямой |
|
Проецирующая прямая — прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекций.
Прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (рис. 8, прямая АВ). Фронтально-проецирующая (рис. 8, прямая CD), профильно- проецирующая (рис. 8, прямая EF).
Рис. 8. Проецирующие прямые
3.2.2. Длина отрезка прямой общего положения
Отрезок прямой спроецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости проекций.
Натуральную величину отрезка прямой общего положения можно определить из прямоугольного треугольника, в котором длина одного катета равна проекции отрезка (например, горизонтальной), а другой катет равен разности координат концов отрезка (в данном случае — разности координат Z) (рис. 9, а). На эпюре построение такого треугольника обычно примыкают к проекции, которая является одним из катетов (рис. 9, б). Гипотенуза — натуральная величина отрезка АВ, угол между проекцией отрезка и гипотенузой — натуральная величина угла наклона прямой АВ к плоскости проекций (в данном случае — к горизонтальной плоскости проекций; α).
|
а |
б |
|
Рис. 9. Определение натуральной величины отрезка
прямой общего положения а — аксонометрическое изображение; б — построение на эпюре |
|
1.2.3. Следы прямой линии
Следами прямой называются точки пересечения прямой с плоскостями проекций (рис. 10). Прямая общего положения в системе трех плоскостей проекций имеет три следа: горизонтальный, фронтальный и профильный.
На рисунке 10 показано построение горизонтального M (m; m') и фронтального N (n; n') следов прямой АВ.
|
а |
б |
|
Рис. 10. Следы прямой: а — аксонометрическое изображение; б — построение на эпюре |
|
Для построения горизонтального следа прямой нужно продолжить ее фронтальную проекцию до пересечения с осью Х и из этой точки провести линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.
Для построения фронтального следа прямой нужно продолжить ее горизонтальную проекцию до пересечения с осью Х и из этой точки провести линию связи до пересечения с фронтальной проекцией прямой.
3.2.4. Взаимное положение двух прямых линий
Прямые линии могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися (рис. 11).
Одноименные проекции параллельных прямых параллельны (рис. 11, а).
Точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых лежат на одной линии связи (рис. 11, б).
Прямы не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости называются скрещивающимися.
|
а |
б |
в |
|
Рис. 11. Взаимное положение прямых: а — параллельные; б — пересекающиеся; в — скрещивающиеся |
||
Точки 1 и 2 (рис. 11, в) расположены на одном перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций, их можно назвать фронтально-конкурирующими. Точки 3 и 4 — горизонтально-конкурирующие.
3.2.5. Проецирование прямого угла
Угол проецируется в натуральную величину, если обе стороны угла параллельны плоскости проекций.
Для проецирования прямого угла в натуральную величину достаточно параллельности одной стороны угла плоскости проекций (рис. 12).
Примеры проекций прямого угла приведены на рисунке 13.
Рис. 12. Условие проецирования прямого угла в натуральную величину
Рис. 13. Проецирование прямого угла в натуральную величину