Лабораторная работа №1. Системы счисления
Требования к содержани ю;, оформлению = 80; порядку выполнения
Лабораторные работы необходимо выполнять согласно своему варианту. Варианты лабораторной работы распределяются по последним двум цифрам; Вашем логин; см. таблицу.
Так если Ваш номер зачетной книжки 08075012 (последние 2 цифры образуют число 12), то Ваш Вариант – 2.
| № | Вар. | № | Вар. | № | Вар. | № | Вар. | № | Вар. | № | Вар. | № | Вар. | № | Вар. |
| 01 | 1 | 06 | 6 | 11 | 1 | 16 | 6 | 21 | 1 | 26 | 6 | 31 | 1 | 36 | 6 |
| 02 | 2 | 07 | 7 | 12 | 2 | 17 | 7 | 22 | 2 | 27 | 7 | 32 | 2 | 37 | 7 |
| 03 | 3 | 08 | 8 | 13 | 3 | 18 | 8 | 23 | 3 | 28 | 8 | 33 | 3 | 38 | 8 |
| 04 | 4 | 09 | 9 | 14 | 4 | 19 | 9 | 24 | 4 | 29 | 9 | 34 | 4 | 39 | 9 |
| 05 | 5 | 10 | 10 | 15 | 5 | 20 | 10 | 25 | 5 | 30 | 10 | 35 | 5 | 40 | 10 |
Перед выполнением лабораторной работы изучите теоретический материал. Далее
необходимо изучить примеры выполнения лабораторной работы, а затем приступать к
выполнению своего варианта лабораторной работы.
Все необходимые вычисления можно проводить «на бумаге», а затем
отсканировать их и поместить в файл отчета или оформить решение заданий в файле
отчета средствами любого текстового процессора, например Microsoft Word. После выполнения
лабораторной работы ответьте на контрольные вопросы. Ответы на контрольные
вопросы также поместите в файл отчета.
Файлу отчета необходимо дать имя в формате: «Ваша фамилия_Логин_Lab1» (например: «Ivanov_070850_Lab1.doc»). Внимание! В имени файла
разрешается использовать только буквы латинского алфавита и цифры. Полученный
файл необходимо «закачать» на страницу лабораторной работы в системе
дистанционного обучения.
После проверки результатов выполнения лабораторной работы преподавателем,
открыв страницу отчета по лабораторной работе можно увидеть оценку и замечания
преподавателя.
При необходимости, если об этом указал преподаватель, работу можно
переделать и повторно выслать результаты выполнения лабораторной работы.
Теоретическая
часть
Система счисления – принятый способ записи чисел и сопоставления этим
записям определенных количественных значений.
Все системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
Непозиционными системами являются такие системы счисления, в которых
каждый символ сохраняет свое значение независимо от места его положения в
числе.
Примером непозиционной системы счисления является римская система. К
недостаткам таких систем относятся наличие большого количества знаков и
сложность выполнения арифметических операций.
Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра
имеет различное значение, определяющееся позицией цифры в последовательности
цифр, изображающей число. Это значение меняется в однозначной зависимости от
позиции, занимаемой цифрой, по некоторому закону.
Примером позиционной системы счисления является десятичная система,
используемая в повседневной жизни.
Любое целое число А в позиционной системе счисления с основанием pможет быть представлено в виде полинома от основания p:
А= an pn
+ an-1 pn-1+ … + a1 p +a 0 +
a-1 p-1 +a-2 p-2 +…
где А – число, aj – коэффициенты (цифры числа), p – основание
системы счисления ( p>1), n – номер старшего разряда числа.
Запись A(p) указывает, что число А представлено в системе счисления с
основанием р. Например:
692(10) = 6· 102 + 9·101 + 2·100
Перевод целых чисел из одной
позиционной системы счисления
в другую
Перевод в десятичную систему счисления
1. Для перевода чисел из системы счисления с основой p в систему
счисления с основой q, используя арифметику новой системы счисления с
основой q, нужно записать коэффициенты разложения, основы степеней и
показатели степеней в системе с основой q и выполнить все действия в
этой самой системе. Очевидно, что это правило удобно при переводе в десятичную
систему счисления. Таким образом, перевод
чисел в десятичную систему осуществляется путем составления степенного ряда с
основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается
значение суммы. Например:
из шестнадцатеричной в десятичную:
из восьмеричной в десятичную:
7358= 7·82+3·81+5·80=47710
Перевод из десятичной системы счисления
Для перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления
с основанием р необходимо:
1. Последовательно делить заданное число и получаемые целые части на новое
основание счисления (р) до тех пор, пока целая часть не станет меньше
нового основания счисления.
2. Полученные остатки от деления, представленные цифрами из нового
счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.
Пример 1. Перевести десятичное число 25 в двоичную систему счисления:
|
12 : 2 = 6 (остаток 0), 6 : 2 = 3 (остаток 0),
| или |
|
Последняя целая часть – 1. Начиная с последней целой части последовательно
записывая остатки, получаем –11001, т.е. 2510 = 110012.
Пример 2. Перевести 18110 в восьмеричную систему
счисления.
181 : 8 = 22 (остаток 5);
22 : 8 = 2 (остаток 6).
Последняя целая часть – 2. Начиная с последней целой части последовательно
записывая остатки, получаем – 265, т.е.
18110 = 2658.
Пример 2. Перевести 62210 в шестнадцатеричную систему
счисления.
622 : 16 = 38 (остаток 14);
38 : 16 = 2 (остаток 6).
Последняя целая часть – 2. Начиная с последней целой части последовательно
записывая остатки, получаем – 26Е(14 шестнадцатеричной системе обозначается – Е), т.е. 62210 = 26E16.
Десятичная система счисления
Общепринятой в современном мире является десятичная позиционная система
счисления, которая из Индии через арабские страны пришла в Европу. Основой
системы является число десять. Основой системы счисления называется число,
означающее, во сколько раз единица следующего разряда больше чем единица
предыдущего.
Общеупотребительной формой записи числа является сокращенная форма записи
разложения по степеням основы системы счисления, например
130678=1·105+3·104+0·103+6·102+7·101+8·100
Здесь 10 служит основой системы счисления, а показатель степени - это номер
позиции цифры в записи числа (нумерация ведется справа налево, начиная с нуля).
Арифметические операции в этой системе выполняют по правилам, предложенным еще
в средневековье. Например, складывая два многозначных числа, применяем правило
сложения столбиком. При этом все сводится к сложению однозначных чисел, для
которых необходимо знать таблицу сложения.
Двоичная система счисления
Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем,
что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным,
т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1). Это обусловлено тем,
что компьютер построен на логических схемах, имеющих в своем элементарном виде
только 2 состояния – включено и выключено.
Количественный эквивалент некоторого целого n-значного двоичного числа
вычисляется по формуле:
A(2) = an
2n + an-1 2n-1 + ... + a1 21
+ a0 20
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Хотя компьютер «знает» только двоичную систему счисления, часто с целью
уменьшения записываемых на бумаге или вводимых с клавиатуры знаков бывает
удобнее пользоваться восьмеричными или шестнадцатеричными.
В восьмеричной системе используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Употребляется в ЭВМ как вспомогательная для записи информации в сокращенном
виде.
Для изображения чисел употребляются 16 цифр. Первые десять цифр этой системы
обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр - латинскими буквами:
10-A, 11-B, 12-C, 13-D, 14-E, 15-F. Шестнадцатеричная система используется для
записи информации в сокращенном виде.
Поскольку 23=8, а 24=16 , то каждых три двоичных
разряда числа образовывают один восьмеричный, а каждых четыре двоичных разряда
- один шестнадцатеричный. Ниже, в таблице 2.2 приведены первые 16 натуральных
чисел записанных в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
системах счисления.
Таблица 2.2
Соответствие чисел в различных
системах счисления
| Десятичная | Шестнадцатеричная | Восьмеричная | Двоичная |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 4 | 100 |
| 5 | 5 | 5 | 101 |
| 6 | 6 | 6 | 110 |
| 7 | 7 | 7 | 111 |
| 8 | 8 | 10 | 1000 |
| 9 | 9 | 11 | 1001 |
| 10 | А | 12 | 1010 |
| 11 | В | 13 | 1011 |
| 12 | С | 14 | 1100 |
| 13 | D | 15 | 1101 |
| 14 | E | 16 | 1110 |
| 15 | F | 17 | 1111 |
Для отладки программ и в других ситуациях в программировании актуальной
является проблема перевода чисел из одной позиционной системы счисления в
другую. Если основа новой системы счисления равняется некоторой степени старой
системы счисления, то алгоритм перевода очень простой: нужно сгруппировать
справа налево разряды в количестве, равном показателю степени и заменить эту
группу разрядов соответствующим символом новой системы счисления. Этим
алгоритмом удобно пользоваться при переводе числа из двоичной системы счисления
в восьмеричную или шестнадцатеричную. Например, 101102=10 110=268,
10111002=101 1100=5C16
Перевод чисел из восьмеричной или шестнадцатеричной систем счисления в
двоичную происходит по обратному правилу: один символ старой системы счисления
заменяется группой разрядов новой системы счисления, в количестве равном
показателю степени новой системы счисления. Например, 4728=100111 010=1001110102, B516=1011 0101=101101012
Арифметические операции в позиционных
системах счисления
Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления
производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они
основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами.
Но при переносе в старший разряд и выполнении «заема» необходимо помнить, что
основание системы не 10.
Список
индивидуальных данных
Задание 1.
Выполните перевод из одной системы в другую согласно своему варианту.
Решение отсканируйте и поместите в файл отчета (Допускается оформление решения
в файле отчета средствами редактора Word). Файлу отчета необходимо дать имя в формате: «Ваша фамилия
Lab1» (Использовать только буквы латинского алфавита. Например: «Ivanov
Lab1»).
Варианты заданий
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. |
| 100012 → ( )10 2758 → ( )10 В516 → ( )10 | 101012 → ( )10 5618 → ( )10 С516 → ( )10 | 110112 → ( )10 4668 → ( )10 5А16 → ( )10 | 11112 → ( )10 6708 → ( )10 АС16 → ( )10 | 110102 → ( )10 1378 → ( )10 F116 →
( )10 |
| 6. | 7. | 8. | 9. | 10. |
| 100012 → ( )10 2758 → ( )10 В516 → ( )10 | 101012 → ( )10 5618 → ( )10 С516 → ( )10 | 110112 → ( )10 4668 → ( )10 5А16 → ( )10 | 11112 → ( )10 6708 → ( )10 АС16 → ( )10 | 110102 → ( )10 1378 → ( )10 F116 → ( )10 |
Задание 2.
Выполните перевод числа указанного в вашем варианте из десятичной системы
счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления.
Решение поместите в файл отчета.
Варианты заданий
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | 8. | 9. | 10. |
| 423 | 562 | 623 | 456 | 723 | 256 | 457 | 562 | 753 | 359 |
Задание 3.
Переведите числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную. Решение
поместите в файл отчета.
Варианты заданий
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. | 6. | 7. | 8. | 9. | 10. |
| DB | 9А | С5 | F5 | 5F | 9C | C9 | AA | BA | D0 |
Задание 4.
Выполните вычисления. Решение поместите в файл отчета.
| 1. | 2. | 3. | 4. | 5. |
| а)1000011(2)+100011(2) б) 2052(8)-1631(8) в) F6(16)*15(16) г)100100(2)-11(2) | а)356(8)+177(8) б)2D8(16)-AB(16) в)1011(2)*110(2) г) 2734(8) /17(8) | а) 93(16)+CC(16) б)1011001(2)-11010(2) в) 235(8)*16(8) г) 417E(16) /A6(16) | а)10011(2)+10011(2) б) 60152(8)-1631(8) в) D1(16)*52(16) г)10100(2)-10(2) | а)573(8)+771(8) б)298(16)-A0(16) в)1010(2)*101(2) г) 10316(8) /22(8) |
| 6. | 7. | 8. | 9. | 10. |
| а)1010111(2)+101011(2) б)7111(8)-5601(8) в) 66(16)*FF(16) г) 2734(8) /17(8) | а)322(8)+77(8) б)218(16)-BC(16) в)1010(2)*101(2) г)100100(2)-11(2) | а) C1(16)+56(16) б)10101(2)-1010(2) в)235(8)*26(8) г)10100(2)/10(2) | а)100101(2)+1011(2) б) 4523(8)-163(8) в) 1F(16)*92(16) г) 10316(8) /22(8) | а)366(8)+634(8) б)391(16)-A5(16) в)10101(2)*110(2) г) 417E(16) /A6(16) |
Задание 5.
Ответьте на контрольные вопросы (вопросы и ответы поместите в файл
отчета). Файл отчета необходимо предоставить преподавателю. Полученный
файл необходимо «закачать» на страницу лабораторной работы в системе
дистанционного обучения.
Контрольные
вопросы к защите
1. Что называется
системой счисления?
2. Чем отличаются
позиционные системы счисления от непозиционных?
3. Приведите пример
непозиционных систем счисления.
4. Приведите пример
позиционных систем счисления.
5. Опишите правило
перевода в десятичную систему счисления из системы счисления с основанием Р.
6. Опишите правило
перевода из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием Р.
7. Каким образом
выполняются арифметические операции в различных позиционных системах счисления?
Выполнение лабораторной работы оценивается по пятибалльной шкале. Для
получения оценки необходимо файл отчета (с результатами выполнения заданий и
ответами на контрольные вопросы) «закачать» на страницу лабораторной работы в
системе дистанционного обучения.
Пример
выполнения работы
Задание 1.
Выполните перевод из одной системы в другую. Ответ запишите в файл отчета.
2758 → ( )10.
Выполнение.
Для перевода в десятичную систему счисления следует составить степенной ряд
с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитать
значение суммы.
В нашем случае 2758 = 2·82+7·81+5·80=
128 + 56 + 5 = 18910.
Задание 2.
Выполните перевод числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную
систему счисления. Ответ запишите в файл отчета.
62210 → ( )16.
Выполнение.
Перевод целых десятичных чисел в недесятичную систему счисления
осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той
системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное
меньшее этого основания. Число в новой системе записывается в виде остатков
деления, начиная с последнего.
622 : 16 = 38 (остаток 14),
38 : 16 = 2 (остаток 6),
Результат: 62210 = 26E16
Задание 3.
Переведите числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную. Ответ
запишите в файл отчета.
АF16 → (
)2
Выполнение.
Перевод чисел из шестнадцатеричной систем счисления в двоичную происходит по
следующему правилу: каждую цифру в шестнадцатеричной системе счисления
переводим в двоичную, таким образом, один символ шестнадцатеричной системы
счисления заменяется четырьмя разрядами новой системы счисления.
В нашем случае АF16=1010 1111=101011112
Задание 4.
Выполните вычисления. Ответ запишите в файл отчета.
а) 1С16 + 7В16 =
б) 1012 – 112 =
в) 1012 * 112 =
с) 11112 /112 =
Выполнение.
а) 1С16 + 7В16 = 9716
Запишем слагаемые в столбик
| + | 1 С |
| 7 В | |
| | |
Разряды суммы 2-х чисел формируется следующим образом:
разряд 1: С16 + В16 = 12 + 11 = 23 = 1716;
7 остается в первом разряде (т.к. 23–16
(основание разряда) = 7); 1 переносится в разряд 2;
разряд 2 формируется следующим образом: 116 + 716 + 116= 916, где вторая 116 – единица переноса.
Таким образом:
| + | 1 С |
| 7 В | |
| | 9 7 |
б) 1012 – 112 = 102
Запишем уменьшаемое и вычитаемое в столбик:
| _ | 101 |
| | 11 |
| | |
разряд 1 формируется следующим образом: 1 – 1 = 0;
разряд 2 формируется следующим образом: поскольку 0 меньше 1 и
непосредственное вычитание невозможно, занимаем для уменьшаемого единицу в
старшем третьем разряде. Тогда разряд 2 рассчитывается как 102 – 12= 12;
третий разряд формируется следующим образом: поскольку единица была занята в
предыдущем шаге, в разряде остался 0.
Таким образом:
| _ | 101 |
| | 11 |
| | 10 |
в) 1012 * 112 = 11112
Запишем множители в столбик
| * | 101 |
| 11 | |
| + | 101 |
| 1010 | |
| | 1111 |
Умножение множимого на разряд 1 множителя дает результат: 1012 *
12 = 1012;
Умножение множимого на разряд 2 множителя дает результат: 1012 *
102 = 10102. Здесь значение разряда 2 множителя
сформировано по принципам формирования значения числа в позиционных системах
счисления;
Для получения окончательного результата складываем результаты предыдущих
шагов: 1012 + 10102 = 11112.
г) 11112 /112 = 1012
Решение задачи представим схемой:
| 1111 | 11 | |
| 11 | 101 | |
| 011 | | |
| 11 |
| |
| 0 | |
|