Автокорреляция
уровней временного ряда
При
наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого
последующего уровня ряда зависят от предыдущих.
Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда
называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно
ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями
исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов
во времени.
Формула
для расчета коэффициента автокорреляции имеет вид:
(4.1)
где
Эту
величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка,
так как он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда и .
Аналогично
можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков.
Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи
между уровнями и и
определяется по формуле:
(4.2)
где
Число
периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом.
С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент
автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения
статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило
– максимальный лаг должен быть не больше .
Свойства
коэффициента автокорреляции.
1.
Он строится по аналогии с линейным коэффициентом
корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего
и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить
о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных
рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка
или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может
приближаться к нулю.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательность
коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной
функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага
(порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.
Анализ
автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет
определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а
следовательно, и лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями
ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если
наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка,
исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался
коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов
времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым,
можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда:
либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит
сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный
анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию
целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или
отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты.
Рассмотрим
пример. Пусть имеются некоторые условные данные об общем количестве
правонарушений на таможне одного из субъектов РФ (например, Республики
Татарстан).
Год |
Квартал |
|
Количество возбужденных
дел, |
1999 |
I |
1 |
375 |
II |
2 |
371 |
|
III |
3 |
869 |
|
IV |
4 |
1015 |
|
2000 |
I |
5 |
357 |
II |
6 |
471 |
|
III |
7 |
992 |
|
IV |
8 |
1020 |
|
2001 |
I |
9 |
390 |
II |
10 |
355 |
|
III |
11 |
992 |
|
IV |
12 |
905 |
|
2002 |
I |
13 |
461 |
II |
14 |
454 |
|
III |
15 |
920 |
|
IV |
16 |
927 |
Построим поле корреляции:
Рис. 4.4.
Уже исходя из графика видно, что
значения образуют
пилообразную фигуру. Рассчитаем несколько последовательных коэффициентов
автокорреляции. Для этого составляем первую вспомогательную таблицу.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
375 |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
2 |
371 |
375 |
-328,33 |
-288,13 |
94601,72 |
107800,59 |
83018,90 |
3 |
869 |
371 |
169,67 |
-292,13 |
-49565,70 |
28787,91 |
85339,94 |
4 |
1015 |
869 |
315,67 |
205,87 |
64986,98 |
99647,55 |
42382,46 |
5 |
357 |
1015 |
-342,33 |
351,87 |
-120455,66 |
117189,83 |
123812,50 |
6 |
471 |
357 |
-228,33 |
-306,13 |
69898,66 |
52134,59 |
93715,58 |
7 |
992 |
471 |
292,67 |
-192,13 |
-56230,69 |
85655,73 |
36913,94 |
8 |
1020 |
992 |
320,67 |
328,87 |
105458,74 |
102829,25 |
108155,48 |
9 |
390 |
1020 |
-309,33 |
356,87 |
-110390,60 |
95685,05 |
127356,20 |
10 |
355 |
390 |
-344,33 |
-273,13 |
94046,85 |
118563,15 |
74600,00 |
11 |
992 |
355 |
292,67 |
-308,13 |
-90180,41 |
85655,73 |
94944,10 |
12 |
905 |
992 |
205,67 |
328,87 |
67638,69 |
42300,15 |
108155,48 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
13 |
461 |
905 |
-238,33 |
241,87 |
-57644,88 |
56801,19 |
58501,10 |
14 |
454 |
461 |
-245,33 |
-202,13 |
49588,55 |
60186,81 |
40856,54 |
15 |
920 |
454 |
220,67 |
-209,13 |
-46148,72 |
48695,25 |
43735,36 |
16 |
927 |
920 |
227,67 |
256,87 |
58481,59 |
51833,63 |
65982,20 |
Сумма |
10499 |
9947 |
9,05 |
0,05 |
74085,16 |
1153766,39 |
1187469,73 |
Среднее значение |
699,33 |
663,13 |
– |
– |
– |
– |
– |
Следует заметить, что среднее значение получается путем деления не на 16, а на 15, т.к. у нас теперь на одно наблюдение меньше.
Теперь
вычисляем коэффициент автокорреляции первого порядка по формуле (4.1):
.
Составляем вспомогательную таблицу для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
375 |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
2 |
371 |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
3 |
869 |
375 |
145,57 |
-269,79 |
-39273,33 |
21190,62 |
72786,64 |
4 |
1015 |
371 |
291,57 |
-273,79 |
-79828,95 |
85013,06 |
74960,96 |
5 |
357 |
869 |
-366,43 |
224,21 |
-82157,27 |
134270,94 |
50270,12 |
6 |
471 |
1015 |
-252,43 |
370,21 |
-93452,11 |
63720,90 |
137055,44 |
7 |
992 |
357 |
268,57 |
-287,79 |
-77291,76 |
72129,84 |
82823,08 |
8 |
1020 |
471 |
296,57 |
-173,79 |
-51540,90 |
87953,76 |
30202,96 |
9 |
390 |
992 |
-333,43 |
347,21 |
-115770,23 |
111175,56 |
120554,78 |
10 |
355 |
1020 |
-368,43 |
375,21 |
-138238,62 |
135740,66 |
140782,54 |
11 |
992 |
390 |
268,57 |
-254,79 |
-68428,95 |
72129,84 |
64917,94 |
12 |
905 |
355 |
181,57 |
-289,79 |
-52617,17 |
32967,66 |
83978,24 |
13 |
461 |
992 |
-262,43 |
347,21 |
-91118,32 |
68869,50 |
120554,78 |
14 |
454 |
905 |
-269,43 |
260,21 |
-70108,38 |
72592,52 |
67709,24 |
15 |
920 |
461 |
196,57 |
-183,79 |
-36127,60 |
38639,76 |
33778,76 |
16 |
927 |
454 |
203,57 |
-190,79 |
-38839,12 |
41440,74 |
36400,82 |
Сумма |
10128 |
9027 |
-0,02 |
-0,06 |
-1034792,71 |
1037835,43 |
|
Среднее значение |
723,43 |
644,79 |
– |
– |
– |
– |
– |
Следовательно
.
Аналогично
находим коэффициенты автокорреляции более высоких порядков, а все полученные
значения заносим в сводную таблицу.
Таблица 4.4
Лаг |
Коэффициент автокорреляции
уровней |
1 |
0,063294 |
2 |
–0,961183 |
3 |
–0,036290 |
4 |
0,964735 |
5 |
0,050594 |
6 |
–0,976516 |
7 |
–0,069444 |
8 |
0,964629 |
9 |
0,162064 |
10 |
-0,972918 |
11 |
-0,065323 |
12 |
0,985761 |
Коррелограмма:
Рис. 4.5.
Анализ
коррелограммы и графика исходных уровней временного
ряда позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде сезонных
колебаний периодичностью в четыре квартала.