4. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.

2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени .

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму модели, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках.

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

. (4.5)

Т.е. величина есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Можно показать, что при больших значениях существует следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка :

. (4.6)

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то и, следовательно, . Если автокорреляция остатков отсутствует, то и . Т.е. .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (см. приложение E) определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

– есть положительная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностью принимается ;

– зона неопределенности;

– нет оснований отклонять , т.е. автокорреляция остатков отсутствует;

– зона неопределенности;

– есть отрицательная автокорреляция остатков, отклоняется, с вероятностью принимается .

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу .

Пример. Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для аддитивной модели нашего временного ряда. Исходные данные и промежуточные расчеты заносим в таблицу:

Таблица 4.11

1	2	3	4	5	6
1	375	-5,252	–	–	27,584
2	371	-35,843	-5,252	935,8093	1284,7
3	869	-74,183	-35,843	1469,956	5503,1
4	1015	48,937	-74,183	15158,53	2394,8
5	357	-26,946	48,937	5758,23	726,09
6	471	60,464	-26,946	7640,508	3655,9
7	992	45,124	60,464	235,3156	2036,2
8	1020	50,244	45,124	26,2144	2524,5
9	390	2,361	50,244	2292,782	5,574
10	355	-59,229	2,361	3793,328	3508,1
11	992	41,431	-59,229	10132,44	1716,5
12	905	-68,450	41,431	12073,83	4685,4
13	461	69,668	-68,45	19076,58	4853,6
14	454	36,078	69,668	1128,288	1301,6
15	920	-34,263	36,078	4947,856	1174
16	927	-50,143	-34,263	252,1744	2514,3
Сумма		-0,002	50,141	84921,85	37911,97

Фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона для данной модели составляет:

.

Сформулируем гипотезы: – в остатках нет автокорреляции; – в остатках есть положительная автокорреляция; – в остатках есть отрицательная автокорреляция. Зададим уровень значимости . По таблице значений критерия Дарбина-Уотсона определим для числа наблюдений и числа независимых параметров модели (мы рассматриваем только зависимость от времени ) критические значения и . Фактическое значение -критерия Дарбина-Уотсона попадает в интервал (1,37<2,24<2,63). Следовательно, нет основания отклонять гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках.

Существует несколько ограничений на применение критерия Дарбина-Уотсона.

1. Он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака.

2. Методика расчета и использования критерия Дарбина-Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.

3. Критерий Дарбина-Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок.