3.2. Методика построения аддитивной и
мультипликативной моделей.
Методики
построения этих моделей рассмотрим на примерах.
3.2.1. Аддитивная модель
Пример. Построение
аддитивной модели временного ряда. Обратимся к данным об объеме правонарушений
на таможне за четыре года, представленным в табл. 4.1.
Было показано,
что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к.
количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в
третий-четвертый. Рассчитаем компоненты аддитивной модели временного ряда.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
1.1. Просуммируем уровни
ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент
времени и определим условные годовые объемы потребления электроэнергии (гр. 3
табл. 4.5).
1.2. Разделив полученные
суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл. 4.5). Полученные таким
образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
1.3.
Приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего
найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних –
центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 4.5).
№ квартала,
|
Количество правонарушений,
|
Итого за четыре квартала |
Скользящая средняя за четыре квартала |
Центрированная скользящая средняя |
Оценка сезонной компоненты |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
375 |
– |
– |
– |
– |
2 |
371 |
2630 |
657,5 |
– |
– |
3 |
869 |
2612 |
653 |
655,25 |
213,75 |
4 |
1015 |
2712 |
678 |
665,5 |
349,5 |
5 |
357 |
2835 |
708,75 |
693,75 |
-336,75 |
6 |
471 |
2840 |
710 |
709,375 |
-238,375 |
7 |
992 |
2873 |
718,25 |
714,125 |
277,875 |
8 |
1020 |
2757 |
689,25 |
703,75 |
316,25 |
9 |
390 |
2757 |
689,25 |
689,25 |
-299,25 |
10 |
355 |
2642 |
660,5 |
674,875 |
-319,875 |
11 |
992 |
2713 |
678,25 |
669,375 |
322,625 |
12 |
905 |
2812 |
703 |
690,625 |
214,375 |
13 |
461 |
2740 |
685 |
694 |
-233 |
14 |
454 |
2762 |
690,5 |
687,75 |
-233,75 |
15 |
920 |
– |
– |
– |
– |
16 |
927 |
– |
– |
– |
– |
Шаг 2. Найдем
оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и
центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 4.5). Используем эти оценки
для расчета значений сезонной компоненты (табл. 4.6). Для этого
найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что
сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В
аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты
по всем кварталам должна быть равна нулю.
Таблица 4.6
Показатели |
Год |
№ квартала, |
|||
I |
II |
III |
IV |
||
|
1999 |
– |
– |
213,75 |
349,5 |
2000 |
-336,75 |
-238,375 |
277,875 |
316,25 |
|
2001 |
-299,25 |
-319,875 |
322,625 |
214,375 |
|
2002 |
-233 |
-233,75 |
– |
– |
|
Всего за -й квартал |
|
-869 |
-792 |
814,25 |
880,125 |
Средняя оценка сезонной
компоненты для -го квартала, |
|
-289,667 |
-264 |
271,417 |
293,375 |
Скорректированная сезонная
компонента, |
|
-292,448 |
-266,781 |
268,636 |
290,593 |
Для данной модели имеем:
.
Корректирующий
коэффициент: .
Рассчитываем
скорректированные значения сезонной компоненты () и заносим полученные данные в таблицу 4.6.
Проверим
равенство нулю суммы значений сезонной компоненты:
.
Шаг 3. Исключим
влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного
временного ряда. Получим величины (гр. 4 табл. 4.7). Эти
значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и
случайную компоненту.
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
375 |
-292,448 |
667,448 |
672,700 |
380,252 |
-5,252 |
27,584 |
2 |
371 |
-266,781 |
637,781 |
673,624 |
406,843 |
-35,843 |
1284,721 |
3 |
869 |
268,636 |
600,364 |
674,547 |
943,183 |
-74,183 |
5503,117 |
4 |
1015 |
290,593 |
724,407 |
675,470 |
966,063 |
48,937 |
2394,830 |
5 |
357 |
-292,448 |
649,448 |
676,394 |
383,946 |
-26,946 |
726,087 |
6 |
471 |
-266,781 |
737,781 |
677,317 |
410,536 |
60,464 |
3655,895 |
7 |
992 |
268,636 |
723,364 |
678,240 |
946,876 |
45,124 |
2036,175 |
8 |
1020 |
290,593 |
729,407 |
679,163 |
969,756 |
50,244 |
2524,460 |
9 |
390 |
-292,448 |
682,448 |
680,087 |
387,639 |
2,361 |
5,574 |
10 |
355 |
-266,781 |
621,781 |
681,010 |
414,229 |
-59,229 |
3508,074 |
11 |
992 |
268,636 |
723,364 |
681,933 |
950,569 |
41,431 |
1716,528 |
12 |
905 |
290,593 |
614,407 |
682,857 |
973,450 |
-68,450 |
4685,403 |
13 |
461 |
-292,448 |
753,448 |
683,780 |
391,332 |
69,668 |
4853,630 |
14 |
454 |
-266,781 |
720,781 |
684,703 |
417,922 |
36,078 |
1301,622 |
15 |
920 |
268,636 |
651,364 |
685,627 |
954,263 |
-34,263 |
1173,953 |
16 |
927 |
290,593 |
636,407 |
686,550 |
977,143 |
-50,143 |
2514,320 |
Шаг 4. Определим
компоненту данной модели. Для
этого проведем аналитическое выравнивание ряда () с помощью линейного тренда. Результаты
аналитического выравнивания следующие:
.
Подставляя
в это уравнение значения , найдем уровни для каждого момента
времени (гр. 5 табл. 4.7).
Шаг 5. Найдем
значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к
уровням значения сезонной
компоненты для соответствующих кварталов (гр. 6 табл. 4.7).
На
одном графике отложим фактические значения уровней временного ряда и
теоретические, полученные по аддитивной модели.
Рис. 4.6.
Для оценки качества построенной модели применим сумму
квадратов полученных абсолютных ошибок.
.
Следовательно,
можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней
временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.
Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Предположим,
что по нашему примеру необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на
I и II кварталы 2003 года. Прогнозное значение уровня временного ряда
в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения
трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда
.
Получим
;
.
Значения
сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: и . Таким образом,
;
.
Т.е.
в первые два квартала