Стандартные ошибки параметров.

Критерии Стьюдента.

Доверительные интервалы.

В линейной регрессии часто оценивается не только значимость уравнения регрессии в целом, но и значимость его отдельных параметров, а также коэффициента корреляции.

Для того чтобы осуществить такую оценку, необходимо для всех параметров рассчитывать стандартные ошибки (m_a, m_b, m_r)

обозначив остаточную дисперсию на одну степень свободы через S2, получим

Величины стандартных ошибок применяются не только для проверки значимости параметров, но и для расчета доверительных интервалов.

В рассматриваемом примере величины стандартных ошибок соответственно коэффициента регрессии, свободного члена регрессии и коэффициента корреляции будут следующими:

Чтобы оценить существенность параметров, необходимо рассчитать для них критерии Стьюдента t_a, t_b, t_r. Для параметров а, b и коэффициента r_xy критерий Стьюдента определяет соотношение между самим параметром и его ошибкой;

Для коэффициента корреляции формулу расчета критерия Стьюдента можно преобразовать и она будет иметь несколько иной вид:

Фактические значения критерия Стьюдента сравниваются с табличными при определенном уровне надежности α и числе степеней свободы df= (п—2). По результатам этого сравнения принимаются или отвергаются нулевые гипотезы о несущественности параметров или коэффициента корреляции. Если фактическое значение критерия Стьюдента больше табличного, тогда гипотеза о несущественности отвергается. Подтверждение существенности коэффициента регрессии равнозначно подтверждению существенности уравнения регрессии в целом.

В рассматриваемом примере:

Табличное значение критерия Стьюдента при а = 0,05 и df= 5 равно 2,57. Таким образом, сравнив полученные фактические значения критериев Стьюдента с табличным, можно уверенно сделать вывод о существенности свободного члена уравнения регрессии а, коэффициента регрессии b, коэффициента корреляции r_xy , а также и о существенности всего уравнения в целом.

На основе стандартных ошибок параметров и табличных значений критерия Стьюдента можно рассчитать доверительные интервалы:

Где:

- предельная ошибка параметра а

- предельная ошибка параметра регрессии b

Для рассматриваемых конкретных параметров (наш пример) при а = 0,0 интервалы будут следующими

Поскольку коэффициент регрессии имеет четкую экономическую интерпретацию, то доверительные границы интервала для него регрессии не должны содержать противоречивых результатов. Например, такая запись, как
-5≤b≤10, указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже нуль, а этого не может быть. Следовательно, связь между данными нельзя выразить такой моделью (в частности, парной линейной регрессией), должна подбираться другая модель.