ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА.
1.      Формула полной вероятности.
2.      Формула Байеса.
1.      Формула полной вероятности. 
На практике часто возникает ситуация, когда требуется определить вероятность события, которое может произойти с одним из несовместных событий, образующих полную группу. Рассмотрим задачу:
В одной урне 2 белых и 4 красных шара, в другой- 3 белых и 5 красных шаров. Наудачу вынимают один шар. Какова вероятность, что шар окажется красным?
Для того, чтобы вынуть один шар, необходимо произвести два последовательных действия: выбрать урну, вынуть из нее шар. Шар можно выбрать из любой урны, т.е. имеются две возможности, каждую из них назовем гипотезой. Итак, событие - выбрана первая урна- это первая гипотеза Н1, событие- выбрана вторая урна- вторая гипотеза Н2. Н1 и Н2 - несовместные события, которые образуют полную группу. Найдем их вероятности: Р(Н1)=1/2, Р(Н2)=1/2. Если выбрана первая урна, то вероятность вынуть красный шар( событие А) равна 2/3, причем эта вероятность условная. Вероятность того, что шар вынут из первой урны и он красный, вычислим по теореме умножения вероятностей для зависимых событий: 

Если выбрана вторая урна, то вероятность события А равна 5/8. С помощью аналогичных рассуждений вычислим вероятность того, что шар вынут из второй урны и он красный: 

Тогда вероятность того, что наудачу вынутый шар- красный, вычислим по теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

Обобщим результаты решения задачи в виде теоремы.
Теорема: Вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из событий Н1, Н2, …,Нп, образующих полную группу попарно независимых событий, равна сумме произведений вероятностей событий Н1, Н2, …,Нп на соответствующую условную вероятность события А, т.е. 

Полученная формула называется формулой полной вероятности.
Пример. Одинаковые детали изготавливают на трех станках. Производительность первого станка- 40 деталей за смену, второго- 35 деталей, третьего- 25 деталей. Установлено, что среди деталей, изготавливаемых на первом станке 2% - с дефектом, на втором- 3%, на третьем- 5%. В конце смены наудачу выбирают деталь. Какова вероятность, что эта деталь нестандартная?
Решение:
Пусть событие А- деталь нестандартная. Возможны три гипотезы. Рассмотрим каждую и вычислим ее вероятность:
Н1- деталь изготовлена на первом станке- Р(Н1)=40/100=0,4;
Н2- деталь изготовлена на втором станке- Р(Н2 ) =0,35;
Н3- деталь изготовлена на втором станке - Р(Н3)=0,25.
Гипотезы составляют полную группу событий.
Рассмотрим условные вероятности события А: 

Тогда полная вероятность события А равна: 

2.      Формула Байеса. 
При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А, вероятность которого нужно было определить, могло произойти с одним из событий Н1, Н2,…,Нп, образующих полную группу, при этом вероятности гипотез были известны. Предположим , что проведен опыт и событие А наступило. Установим, как изменятся после этого вероятности гипотез, т.е. найдем условную вероятность РА(Нi) для каждой гипотезы.
По теореме умножения имеем
Р(АНi)=P(A)PA(Hi)=P(Hi)PHi(A), отсюда 
Полученная формула называется формулой Байеса или формулой гипотез. Эта формула позволяет  "пересмотреть" вероятности гипотез после того, как становится известным результат опыта, в результате которого появилось событие А.
Вернемся к задаче о нестандартных деталях. Вычислим вероятность того, что нестандартная деталь оказалась изготовленной на первом станке, т.е. нужно вычислить вероятность РА(Н1):

Рассмотрим еще задачу:
В группе 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность того, что спортсмен выполнит норму: для лыжника- 0,9; для велосипедиста-0,8; для бегуна- 0,75. Найти вероятность того, что вызванный и выполнивший норму спортсмен оказался велосипедистом.
Решение:
Сначала найдем вероятность события А -наудачу вызванный спортсмен выполнит норму. При этом возможны три гипотезы:
Н1- это лыжник;
Н2- это велосипедист;
Н3- это бегун.
Соответствующие вероятности: Р(Н1)=20/30=2/3; Р(Н2)=6/30=1/5; Р(Н3)=4/30=2/15.
Условные вероятности события А: РН1(А)=0,9; РН2(А)=0,8; РН3(А)=0,75. Тогда полная вероятность события А равна:

Теперь пересчитаем вероятность гипотезы Н2:

Контрольные вопросы 
1.      Какие события называются гипотезами?
2.      Какие теоремы используются для вывода формулы полной вероятности?
3.      Почему формула Байеса называется формулой гипотез?
4.      Укажите гипотезы и найдите их вероятности: Была проведена контрольная работа в трех параллельных группах. В первой группе, где 30 студентов, оказалось 8 работ, выполненных на "5", во второй группе, где 28 студентов- 6 таких работ, в третьей группе, где 27 студентов, 9 работ. Найти вероятность того, что наудачу выбранная работа окажется выполненной на "5".