ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Для студентов 2 курса экономического факультета (заочное образование)

(дисциплина «Эконометрика)

Выбор варианта контрольной работы.

Работа включает в себя выполнение двух задач:

- парная регрессия и корреляция

- множественная регрессия и корреляция

Выбор варианта задания осуществляется следующим образом (см. таблицу «выбор варианта контрольной работы).

Например: Фамилия студента Иванов, номер зачетной книжки 21019  - номер варианта контрольной работы- 2,3

Парная регрессия – вариант задания №2, множественная регрессия №3.

Краткие теоретические сведения, примеры выполнения заданий и варианты заданий изложены ниже.

Таблица (выбор варианта контрольной работы)

1. Парная регрессия и корреляция

1.1. Теоретическая часть.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

 или .    

Уравнение вида  позволяет по заданным значениям фактора x находить теоретические значения результативного признака y, подставляя в него фактические значения фактора x.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b.

Уравнение простой регрессии характеризует связь между двумя переменными, которая проявляется как некоторая закономерность лишь в среднем по совокупности в целом наблюдаемых данных.

Каждую пару наблюдений x_i ,y_i можно представить в виде точки на плоскости ху. Такое графическое построение называется полем корреляции. В этом случае наилучшей считается функция, график которой проходит через наибольшее количество точек или как можно ближе к ним.

В каждом из наблюдений величину случайной компоненты можно определить как разность между фактическим значением результата и рассчитанным по уравнению регрессии:

Параметр b называют коэффициентом регрессии, рассчитывается по формуле:

Его величина показывает, насколько в среднем изменяется значение результативного признака при изменении факторного на единицу.

Параметр а оценивается по следующей формуле:

1.2. Пример выполнения задания.

В таблице 1 приведены условные данные, характеризующие среднедушевой прожиточный минимум в день на одного трудоспособного, руб., х и среднедневную заработную плату

Таблица.1

Требуется:

1.                Построить линейное уравнение парной регрессии  от .

2.                Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3.                Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.

4.                Выполнить прогноз заработной платы  при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107% от среднего уровня.

5.                Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6.                На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Решение

1.                Вспомогательные дополнительные расчеты для определения параметров уравнения линейной регрессии представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Дополнительные расчеты

;

.

Получено уравнение регрессии:

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата должна возрасти в среднем на 0,92 руб.

2.                Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Это означает, что 52% вариации заработной платы () объясняется вариацией фактора  – среднедушевого прожиточного минимума.

Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

.

где   

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как  не превышает 8-10%.

3.                Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. _{Фактическое} значение -критерия:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы  и  составляет . Так как F_факт = 10,83> F_табл = 4,96, то уравнение регрессии признается статистически значимым. Табличное значение критерия Фишера можно определить использую функцию FРАСПОБР.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Табличное значение -критерия для числа степеней свободы  и  составит .

Определим случайные ошибки , , :

;

;

.

Тогда

Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:

;   ;   ,

поэтому параметры ,  и  являются статистически значимыми для уравнения регрессии.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии  и . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Доверительные интервалы

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью  параметры  и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4.                Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:  руб., тогда прогнозное значение заработной платы составит:  руб.

5.                Ошибка прогноза составит:

.

Предельная ошибка прогноза, которая в  случаев не будет превышена, составит:

.

Доверительный интервал прогноза:

 руб.;

 руб.

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы является надежным () и находится в пределах от 131,66 руб. до 190,62 руб.

6.                В заключение решения задачи построим на одном графике исходные данные и теоретическую прямую (рис. D.1):

Рис. 1.

1.3. Варианты индивидуальных заданий по теме «Парная регрессия и корреляция»

Задание

1.                Построить линейное уравнение парной регрессии  от  по исходными данным своего варианта, приведенных в таблицах 3-12.

2.                Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3.                Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью -критерия Фишера и -критерия Стьюдента.

4.                Выполнить прогноз заработной платы  при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем:

- 115% от среднего уровня;

- 130% от среднего уровня.

5.                Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

6.                На одном графике построить исходные данные и теоретическую прямую.

Вариант 1

Таблица 3 – Исходные данные для построения уравнения линейной регрессии

Вариант 2

Таблица 4 – Исходные данные для построения уравнения линейной регрессии

Вариант 3

Таблица 5 – Исходные данные для построения уравнения линейной регрессии

Вариант 4

Таблица 6 – Исходные данные для построения уравнения линейной регрессии

Вариант 5

Таблица 7 – Исходные данные для построения уравнения линейной регрессии

Вариант 6

Таблица 8 – Исходные данные для построения уравнения линейной регрессии

Вариант 7

Таблица 9 – Исходные данные для построения уравнения линейной регрессии

Вариант 8

Таблица 10 – Исходные данные для построения уравнения линейной регрессии

Вариант 9

Таблица 11 – Исходные данные для построения уравнения линейной регрессии

Вариант 10

Таблица 12 – Исходные данные для построения уравнения линейной регрессии

Вопросы для самоконтроля:

1.     По каким вычислениям можно судить о значимости модели в целом?

2.     Зачем необходимо рассчитывать t-критерий Стьюдента?

3.     Зачем необходимо оценивать интервалы прогноза по  линейному уравнению регрессии?

4.     В каких пределах должна находиться ошибка аппроксимации, чтобы можно было сделать вывод о хорошем подборе модели к исходным данным?

2. Множественная регрессия и корреляция

2.1. Теоретическая часть.

Уравнение множественной регрессии:

где y – зависимая переменная (результативный признак), x_i– независимые, или объясняющие, переменные (признаки-факторы).

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целом ряде других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.

1.                 Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.

2.                 Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.

Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором  факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии  факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как  с соответствующей остаточной дисперсией .

При дополнительном включении в регрессию  фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться:

                и       .

Если же этого не происходит и данные показатели практически не отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор  не улучшает модель и практически является лишним фактором.

2.2. Пример выполнения задания.

По  предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника  (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов  ( от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих  ().

Таблица 13

Требуется:

1.                Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2.                Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3.                Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4.                С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5.                С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после .

6.                Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Решение

Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:

Таблица 14

Продолжение таблицы 14

Найдем средние квадратические отклонения признаков:

;

;

.

1.                Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии

необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :

либо воспользоваться готовыми формулами:

;         ;

.

Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:

;

;

.

Находим

;

;

.

Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:

.

Коэффициенты  и  стандартизованного уравнения регрессии  находятся по формулам:

         ;

         .

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.

Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:

         .

Вычисляем:

         ;     .

Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,61% или 0,20% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат  фактора , чем фактора .

2.                Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:

;       ;       .

Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы  и  явно коллинеарны, т.к. ). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.

При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:

;

.

Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

,

где

– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

– определитель матрицы межфакторной корреляции.

;

.

Коэффициент множественной корреляции

.

Аналогичный результат получим при использовании других формул:

         ;

         ;

.

Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.

3.                Нескорректированный коэффициент множественной детерминации  оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата. Здесь эта доля составляет  и указывает на весьма высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов, иными словами – на весьма тесную связь факторов с результатом.

Скорректированный коэффициент множественной детерминации

определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов. Оба коэффициента указывают на весьма высокую (более ) детерминированность результата  в модели факторами  и .

4.                Оценку надежности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи  дает -критерий Фишера:

.

В нашем случае фактическое значение -критерия Фишера:

                   .

Получили, что  (при ), т.е. вероятность случайно получить такое значение -критерия не превышает допустимый уровень значимости . Следовательно, полученное значение не случайно, оно сформировалось под влиянием существенных факторов, т.е. подтверждается статистическая значимость всего уравнения и показателя тесноты связи .

5.                С помощью частных -критериев Фишера оценим целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после  при помощи формул:

                   ;

                   .

Найдем  и .

                   ;

                   .

Имеем

                   ;

                   .

Получили, что . Следовательно, включение в модель фактора  после того, как в модель включен фактор  статистически нецелесообразно: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного признака  оказывается незначительным, несущественным; фактор  включать в уравнение после фактора  не следует.

Если поменять первоначальный порядок включения факторов в модель и рассмотреть вариант включения  после , то результат расчета частного -критерия для  будет иным. , т.е. вероятность его случайного формирования меньше принятого стандарта . Следовательно, значение частного -критерия для дополнительно включенного фактора  не случайно, является статистически значимым, надежным, достоверным: прирост факторной дисперсии за счет дополнительного фактора  является существенным. Фактор  должен присутствовать в уравнении, в том числе в варианте, когда он дополнительно включается после фактора .

6.                Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами  и  с  содержит неинформативный фактор . Если исключить фактор , то можно ограничиться уравнением парной регрессии:

         ,      .

2.3. Варианты индивидуальных заданий по теме «Множественная регрессия и корреляция»

По предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника  (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов  (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих  (%) (смотри таблицу своего варианта).

         Требуется:

1.                Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2.                Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3.                Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4.                С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .

5.                С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора  после  и фактора  после .

6.                Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Вариант 1

Таблица 15

Вариант 2

Таблица 16

Вариант 3

Таблица 17

Вариант 4

Таблица 18

Вариант 5

Таблица 19

Вариант 6

Таблица 20

Вариант 7

Таблица 21

Вариант 8

Таблица 22